Bài 5 trang 85 Toán 8 – Cánh diều: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (Hình 88). Chứng minh...

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (Hình 88). Chứng minh:

a) $\Delta ABC \backsim \Delta HBA$ và $A{B^2} = BC.BH$

b) $\Delta ABC \backsim \Delta HAC$ và $A{C^2} = BC.CH$

c) $\Delta ABH \backsim \Delta CAH$ và $A{H^2} = BH.CH$

d) $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$

Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng rồi suy ra tỉ số đồng dạng tương ứng.

a) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có:

$\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ ;\,\,\widehat B$ chung

$\Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta HBA$ (g-g)

$\Rightarrow \frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}} \Rightarrow A{B^2} = BC.HB$

b) Xét tam giác ABC và tam giác HAC có:

$\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ ;\,\,\widehat C$ chung

$\Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta HAC$ (g-g)

$\Rightarrow \frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow A{C^2} = BC.CH$

c) Ta có: $\Delta ABC \backsim \Delta HBA$ và $\Delta ABC \backsim \Delta HAC$ nên $\Delta ABH \backsim \Delta CAH$

$\Rightarrow \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}} \Rightarrow A{H^2} = BH.CH$

d) Ta có:

$A{B^2} = BC.BH \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{BC.BH}}$

$A{C^2} = BC.CH \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{BC.CH}}$

$A{H^2} = BH.CH \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{BH.CH}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{BC.BH}} + \frac{1}{{BC.CH}}\\ = \frac{1}{{BC}}.\left( {\frac{1}{{BH}} + \frac{1}{{CH}}} \right)\\ = \frac{1}{{BC}}.\frac{{BH + CH}}{{BH.CH}}\\ = \frac{1}{{BC}}.\frac{{BC}}{{BH.CH}}\\ = \frac{1}{{BH.CH}}\\ = \frac{1}{{A{H^2}}}\end{array}$