Giải mục 1 trang 38, 39 Toán 8 tập 1 - Cánh diều: Thực hiện phép tính: $\dfrac{{ - 3}}{5} + \dfrac{{23}}{5}$...

Hoạt động1

Thực hiện phép tính: $\dfrac{{ - 3}}{5} + \dfrac{{23}}{5}$

Áp dụng quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu.

Ta có: $\dfrac{{ - 3}}{5} + \dfrac{{23}}{5} = \dfrac{{\left( { - 3} \right) + 23}}{5} = \dfrac{{20}}{5} = 4$

Luyện tập1

Thực hiện phép tính: $\dfrac{{x - 2y}}{{{x^2} + xy}} + \dfrac{{x + 2y}}{{{x^2} + xy}}$

Thực hiện theo quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu: cộng tử với tử và giữ nguyên mẫu.

Ta có: $\dfrac{{x - 2y}}{{{x^2} + xy}} + \dfrac{{x + 2y}}{{{x^2} + xy}} = \dfrac{{x - 2y + x + 2y}}{{{x^2} + xy}} = \dfrac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} + xy}}$

Hoạt động2

Cho hai phân thức: $\dfrac{1}{{x + 1}};\dfrac{1}{{x - 1}}$

a) Quy đồng mẫu thức hai phân thức trên

b) Từ câu a, hãy thực hiện phép tính: $\dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}$

Tìm mẫu thức chung rồi quy đồng mẫu.

a) Chọn MTC là: $\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$

Nhân tử phụ đối với hai phân thức: $\dfrac{1}{{x + 1}};\dfrac{1}{{x - 1}}$ lần lượt là: $\left( {x - 1} \right);\left( {x + 1} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\\dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\end{array}$

b) Ta có:

$\dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{x - 1 + x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{2{\rm{x}}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

Luyện tập2

Thực hiện phép tính: $\dfrac{1}{{{x^2} + xy}} + \dfrac{1}{{xy + {y^2}}}$

Ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức cón cùng mẫu thức vừa tìm được.

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2} + xy}} + \dfrac{1}{{xy + {y^2}}}\\ = \dfrac{1}{{x\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{1}{{y\left( {x + y} \right)}}\\ = \dfrac{y}{{xy\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{x}{{xy\left( {x + y} \right)}}\\ = \dfrac{{x + y}}{{xy\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{1}{{xy}}\end{array}$

Hoạt động3

Hãy nêu các tính chất của phép cộng phân số.

Tính chất của phân số có các tính chất sau: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0.

Giả sử các phân số $\dfrac{a}{b};\dfrac{c}{d};\dfrac{e}{f}$ đều có nghĩa.

Tính chất giao hoán: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} + \dfrac{a}{b}$

Tính chất kết hợp: $\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}} \right) + \dfrac{e}{f} = \dfrac{a}{b} + \left( {\dfrac{c}{d} + \dfrac{e}{f}} \right)$

Tính chất cộng với số 0: $\dfrac{a}{b} + 0 = 0 + \dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}$

Luyện tập3

Tính một cách hợp lí:

$\dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}}} + \dfrac{{2y}}{{x + y}} + \dfrac{{1 - 2{y^2}}}{{{x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}}}$

Áp dụng tính chất giao hoán của phân thức để tính hợp lí.

$\begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}}} + \dfrac{{2y}}{{x + y}} + \dfrac{{1 - 2{y^2}}}{{{x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}}} + \dfrac{{1 - 2{y^2}}}{{{x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}}} + \dfrac{{2y}}{{x + y}}\\ = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1 + 1 - 2{y^2}}}{{{x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}}} + \dfrac{{2y}}{{x + y}}\\ = \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \dfrac{{2y}}{{x + y}} = \dfrac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \dfrac{{2y}}{{x + y}} = \dfrac{{x - y}}{{x + y}} + \dfrac{{2y}}{{x + y}} = \dfrac{{x + y}}{{x + y}} = 1\end{array}$