Cho tam giác \(ABC\) có \(BC\) bằng 30cm. Trên đường cao \(AH\) lấy các điểm \(K,I\) sao cho \(AK = KI = IH\). Qua \(I\) và \(K\) vẽ các đường \(EF//BC,MN//BC\left( {E,M \in AB;F,N \in AC} \right)\).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(MN\) và \(EF\).
b) Tính diện tích tứ giác \(MNFE\) biết rằng diện tích tam giác \(ABC\) là \(10,8d{m^2}\).
Định lí Thales
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Hệ quả của định lí Thales
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
a) Vì \(AK = KI = IH \Rightarrow AK = \frac{1}{3}AH;AI = \frac{2}{3}AH\).
Vì \(EF//BC \Rightarrow EK//BH;MN//BC \Rightarrow MI//BH\)
Xét tam giác \(ABH\) ta có \(EK//BH\), theo định lí Thales ta có:
\(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{1}{3}\)
Xét tam giác \(ABH\) ta có \(MI//BH\), theo định lí Thales ta có:
\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AH}} = \frac{2}{3}\)
Xét tam giác \(ABC\) ta có \(EF//BC\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{EF}}{{30}} = \frac{1}{3} \Rightarrow EF = \frac{{30.1}}{3} = 10\)
Xét tam giác \(ABC\) ta có \(MN//BC\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{30}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN = \frac{{30.2}}{3} = 20\)
Vậy \(EF = 10cm;MN = 20cm\).
b) Đổi \(10,8d{m^2} = 1080c{m^2}\)
Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}AH.30 = 1080\left( {c{m^2}} \right)\)
\( \Rightarrow AH = 1080.2:30 = 72cm\)
Ta có: \(AH \bot BC \Rightarrow AH \bot MN\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Do đó, \(KI \bot MN\)
Mà \(KI = \frac{1}{3}AH \Rightarrow KI = \frac{1}{3}.72 = 24cm\)
Tứ giác \(MNFE\) có \(MN//EF\) (cùng song song với \(BC\)) nên tứ giác \(MNFE\) là hình thang.
Lại có: \(KI \bot MN \Rightarrow KI\)là đường cao của hình thang.
Diện tích hình thang \(MNFE\) là:
\({S_{MNFE}} = \frac{1}{2}\left( {EF + MN} \right).KI = \frac{1}{2}.\left( {10 + 20} \right).24 = 360\left( {c{m^2}} \right)\)
Vậy diện tích tứ giác \(MNFE\) là \(360c{m^2}\).