Bài 15 trang 60 Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo: Cho tứ giác $ABCD$ có $AC$ và $BD$ cắt nhau tại . Qua $O$...

Cho tứ giác $ABCD$ có $AC$ và $BD$ cắt nhau tại . Qua $O$, kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB$ tại $E$, kẻ đường thẳng song song với $CD$ cắt $AD$ tại $F$.

a) Chứng minh: $EF//BD$;

b) Từ $O$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $BC$ tại $G$ và đường thẳng song song với $AD$ cắt $CD$ tại $H$. Chứng minh rằng $CG.DH = BG.CH$.

Định lí Thales

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Định lí Thales đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

a) Xét tam giác $ADC$ có $OF//DC$, theo định lí Thales ta có:

$\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AO}}{{AC}}$ (1)

Xét tam giác $ABC$ có $OE//BC$, theo định lí Thales ta có:

$\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AO}}{{AC}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra, $\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}}$

Xét tam giác $ABD$ có:

$\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}}$

Theo định lí Thales đảo suy ra $EF//BD$.

b) Xét tam giác $ADC$ có $OH//AD$, theo định lí Thales ta có:

$\frac{{CH}}{{CD}} = \frac{{CO}}{{AC}}$ (3)

Xét tam giác $ABC$ có $OG//AB$, theo định lí Thales ta có:

$\frac{{CG}}{{BC}} = \frac{{CO}}{{AC}}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra, $\frac{{CH}}{{CD}} = \frac{{CG}}{{BC}}$

Theo định lí Thales đảo suy ra $GH//BD$.

Xét tam giác $BCD$ có $GH//BD$, theo định lí Thales ta có:

$\frac{{CH}}{{DH}} = \frac{{CG}}{{BG}} \Rightarrow CH.BG = DH.CG$ (điều phải chứng minh).