Bài 4 trang 102 SBT toán 9 - Cánh diều tập 1: Cho hai đường tròn (O; 17cm) và (O’; 10cm) cắt nhau tại A và B. Biết OO’ = 21cm...

Cho hai đường tròn (O; 17cm) và (O’; 10cm) cắt nhau tại A và B. Biết OO’ = 21cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Bước 1: Chứng minh OO’ là đường trung trực của AB, từ đó suy ra $AH = BH = \frac{{AB}}{2}$ .

Bước 2: Tính $O’H = OO’ - OH = 21 - OH$.

Bước 3: Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AOH và O’AH để biểu diễn AH thông qua OH và tính OH.

Bước 4: Tính $AB = 2AH$.

Gọi H là giao điểm của OO’ và AB.

Ta có: $OA = OB( = 17cm)$nên O thuộc đường trung trực của AB;

$O’A = O’B( = 10cm)$ nên O’ thuộc đường trung trực của AB.

Suy ra OO’ là đường trung trực của AB, do đó $AH = BH = \frac{{AB}}{2}$ và $OO’ \bot AB$ tại H.

Ta có $O’H = OO’ - OH = 21 - OH$

Mặt khác: Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AOH và O’AH ta được:

$O{A^2} - O{H^2} = O'{A^2} - O'{H^2}( = A{H^2})$

Nên ${17^2} - O{H^2} = {10^2} - {\left( {21 - OH} \right)^2}$ hay ${17^2} - O{H^2} = {10^2} - \left( {{{21}^2} - 42OH + O{H^2}} \right)$ do đó $OH = 15$cm.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OAH ta có: $AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = \sqrt {{{17}^2} - {{15}^2}} = 8$cm.

Vậy $AB = 2AH = 2.8 = 16$cm.