Bài 4 trang 35 SBT toán 9 - Cánh diều tập 1: Cho $a, b, c, d$ là các số không âm thỏa mãn $a > c + d, b > c + d$. Chứng minh...

Cho $a,b,c,d$ là các số không âm thỏa mãn $a > c + d,b > c + d$. Chứng minh:

a) $a + 2b > 3c + 3d$

b) ${a^2} + {b^2} > 2{c^2} + 2cd + 2{d^2}$

c) $ab > {c^2} + cd + {d^2}$

Thay a, b vào biểu thức bên vế trái kết hợp với giả thiết $a > c + d,b > c + d$.

Do $a > c + d,b > c + d$ và $a,b,c,d$ là các số không âm nên ta có:

a) $a + 2b > \left( {c + d} \right) + 2\left( {c + d} \right)$ hay $a + 2b > 3c + 3d$.

b) ${a^2} + {b^2} > {\left( {c + d} \right)^2} + {\left( {c + d} \right)^2}$ hay ${a^2} + {b^2} > 2{c^2} + 4cd + {d^2}$ suy ra ${a^2} + {b^2} > 2{c^2} + 2cd + {d^2}$.

c) $ab > \left( {c + d} \right)\left( {c + d} \right)$ hay $ab > {c^2} + 2cd + {d^2}$suy ra $ab > {c^2} + cd + {d^2}$.