Câu hỏi/bài tập:
Cho x,y,z là các số thực tùy ý. Chứng minh:
a)x2+y2≥2xyb)x2+y2+z2≥xy+yz+zxc)3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2
a) Áp dụng tính chất của hằng đẳng thức: (x−y)2≥0
b) Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức (x−y)2≥0;(y−z)2≥0;(z−x)2≥0.
c) Xét hiệu 3(x2+y2+z2)−(x+y+z)2.
a) Do (x−y)2≥0∀x,y∈R nên x2−2xy+y2≥0 hay x2+y2≥2xy.
b) Với x,y,z là các số thực tùy ý ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
(x−y)2≥0;(y−z)2≥0;(z−x)2≥0.
Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên, ta được:
(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2≥0
x2−2xy+y2+y2−2yz+z2+z2−2xz+x2≥0
2(x2+y2+z2)≥2(xy+yz+xz)
Vậy x2+y2+z2≥xy+yz+zx
c) Xét hiệu
3(x2+y2+z2)−(x+y+z)2=3x2+3y2+3z2−x2−y2−z2−2xy−2yz−2zx=(x2−2xy+y2)+(y2−2yz+z2)+(x2−2zx+z2)=(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2
Do (x−y)2+(y−z)2+(z−x)2≥0 nên 3(x2+y2+z2)−(x+y+z)2
hay 3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2.