Bài 43 trang 122 SBT toán 9 - Cánh diều tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 10cm...

Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 10cm. Vẽ hai nửa đường tròn tâm O đường kính AB và tâm O’ đường kính CD cắt nhau tại P, Q. Biết rằng đường tròn tâm H đường kính PQ tiếp xúc với AB và CD (Hình 47). Tính diện tích phần chung của hai nửa đường tròn (O), (O’).

Bước 1: Chứng minh OPO’Q là hình vuông và cạnh hình vuông.

Bước 2: Diện tích cần tìm = diện tích phần tạo bởi dây PQ và cung nhỏ PQ của (O) + diện tích phần tạo bởi dây PQ và cung nhỏ PQ của (O’).

Trong đó:

Diện tích phần tạo bởi dây PQ và cung nhỏ PQ của (O) = diện tích quạt tròn OPQ – diện tích tam giác OPQ.

Diện tích phần tạo bởi dây PQ và cung nhỏ PQ của (O’) = diện tích quạt tròn O’PQ – diện tích tam giác O’PQ.

Ta có: O là tâm đường tròn đường kính AB nên $OA = OB = OP = OQ = \frac{{AB}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5$cm.

Ta lại có: O’ là tâm đường tròn đường kính CD nên $O’C = O’D = O’P = O’Q = \frac{{CD}}{2}$

Mà $AB = CD$ (do ABCD là hình chữ nhật), suy ra $OP = OQ = O’P = O’Q$.

Có: AB, CD tiếp xúc với (H), $OH \bot AB$tại O tại O’, do đó O và O’ là tiếp điểm của 2 tiếp tuyến AB và CD của (H), hay $O \in (H),O’ \in (H)$.

Diện tích tam giác OPQ là:

$\frac{1}{2}OP.OQ = \frac{1}{2}5.5 = \frac{{25}}{2}$(cm²)

Diện tích hình quạt tròn OPQ của (O) là

$\frac{{\pi {{.5}^2}.90}}{{360}} = \frac{{25\pi }}{4}$(cm²)

Diện tích hình tạo bởi dây PQ và cung nhỏ PQ của (O) là:

$\frac{{25\pi }}{4} - \frac{{25}}{2} = \frac{{25}}{4}\left( {\pi - 2} \right)$(cm²)

Diện tích tam giác O’PQ là:

$\frac{1}{2}OP.OQ = \frac{1}{2}5.5 = \frac{{25}}{2}$(cm²)

Diện tích hình quạt tròn O’PQ của (O’) là

$\frac{{\pi {{.5}^2}.90}}{{360}} = \frac{{25\pi }}{4}$ (cm²)

Diện tích hình tạo bởi dây PQ và cung nhỏ PQ của (O’) là:

$\frac{{25\pi }}{4} - \frac{{25}}{2} = \frac{{25}}{4}\left( {\pi - 2} \right)$ (cm²)

Vậy diện tích phần chung của 2 nửa đường tròn (O) và (O’) là:

$2.\frac{{25}}{4}\left( {\pi - 2} \right) = \frac{{25}}{2}\left( {\pi - 2} \right)$ (cm²)