Bài 14 trang 100 SBT Toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó...

Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (D thuộc cung nhỏ AB). Vẽ đường kính DE. Chứng minh:

a) MA.MB = MC.MD.

b) Tứ giác ABEC là hình thang cân.

c) Tổng MA² + MB² + MC² + MD² có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đường tròn (O).

Dựa vào: Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Chứng minh ABEC là hình thang. Sau đó chứng minh $\widehat {EBA} = \widehat {CAB}$ để ABEC là hình thang cân.

Chứng minh tổng MA² + MB² + MC² + MD² theo R.

a) Xét $\Delta$MAC và $\Delta$MDB, ta có $\widehat{AMC}=\widehat{DMB}={{90}^{o}},\widehat{ACM}=\widehat{DMB}\left( \frac{1}{2}sđ\overset\frown{AD} \right).$

Do đó $\Delta$MAC $\backsim$ $\Delta$MDB, suy ra $\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MB}}$ hay MA.MB = MC.MD.

b) Vì DE là đường kính nên ta có $CE \bot CD$.

Mà $AB \bot CD$ nên AB // CE, suy ra ABEC là hình thang.

Ta có $\widehat {EBA} + \widehat {MBD} = {90^o};\widehat {CAB} + \widehat {ACM} = {90^o};\widehat {ACM} = \widehat {DMB}$, suy ra $\widehat {EBA} = \widehat {CAB}$. Vậy ABEC là hình thang cân.

c) Ta có AC = BE (vì ABEC là hình thang cân) và $\Delta DBE$vuông tại B, nên ta có

MA² + MB² + MC² + MD² = AC² + BD² = BE² + BD² = ED² = 4R².

Vậy tổng MA² + MB² + MC² + MD² có giá trị không đổi.