Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:
\(P = \left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{{1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{1 + \sqrt 3 - \sqrt 5 }}} \right)\left( {\sqrt 3 - \frac{4}{{\sqrt 3 }} + 2} \right).\sqrt {0,2}. \)
Với các biểu thức A, B, C mà \(A \ge 0,A \ne {B^2}\) ta có \(\frac{C}{{\sqrt A - B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}\).
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có:
\(\frac{{\sqrt 5 + 1}}{{1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{1 + \sqrt 3 - \sqrt 5 }} \\= \frac{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\left( {1 + \sqrt 3 - \sqrt 5 } \right) + \left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right) + \sqrt 3 \left( {1 + \sqrt 5 } \right) + \left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {1 + \sqrt 5 } \right) + \sqrt 3 \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}\\ = \frac{{2\sqrt {15} }}{{2\sqrt 3 - 1}}\)
Do đó,
\(P = \frac{{2\sqrt {15} }}{{2\sqrt 3 - 1}}.\frac{{3 - 4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {0,2} \\= \frac{{2\sqrt {15} }}{{2\sqrt 3 - 1}}.\frac{{2\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {0,2} \\ = 2\sqrt 5 .\sqrt {0,2} \\ = 2\sqrt {0,2.5} \\ = 2\)