Bài 3.30 trang 40 SBT Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1: Chứng minh rằng √3 + √5 . √3 - √5 = 2 và √3...

a) Chứng minh rằng $\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 - \sqrt 5 } = 2$ và $\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } = \sqrt {10}$.

b) Rút gọn các biểu thức sau:

$A = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^3} + {\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^3}$;

$B = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^5} + {\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^5}$.

+ Với A, B là các biểu thức không âm, ta có $\sqrt A .\sqrt B = \sqrt {AB}$.

+ $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ với mọi biểu thức A.

a) Ta có:

+) $\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 - \sqrt 5 }$

$= \sqrt {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} \\ = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \\ = \sqrt 4 = 2$

+) ${\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2}$

$= 3 + \sqrt 5 + 2\sqrt {3 + \sqrt 5 } \sqrt {3 - \sqrt 5 } + 3 - \sqrt 5 \\ = 6 + 2.2 = 10$

Do đó, $\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } = \sqrt {10}$.

b) Đặt $a = \sqrt {3 + \sqrt 5 } ,b = \sqrt {3 - \sqrt 5 }$.

Theo a ta có: $ab = 2,a + b = \sqrt {10}$

Ta có:

${a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) \\= {\left( {\sqrt {10} } \right)^3} - 3.2\sqrt {10} \\= 10\sqrt {10} - 6\sqrt {10} \\ = 4\sqrt {10}$

Vậy $A = 4\sqrt {10}$

$B = {a^5} + {b^5} \\= \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^3} + {b^3}} \right) - {a^2}{b^3} - {a^3}{b^2} \\ = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab} \right]A - {\left( {ab} \right)^2}\left( {a + b} \right)\\ = \left[ {{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2} - 2.2} \right].4\sqrt {10} - {2^2}.\sqrt {10} \\= 20\sqrt {10}$