Câu 52 trang 13 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Chứng minh số là số vô tỉ...

Chứng minh số $\sqrt 2$ là số vô tỉ

Gợi ý làm bài

Giả sử $\sqrt 2$ không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho $\sqrt 2  = {a \over b}$ với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Ta có: ${\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = {\left( {{a \over b}} \right)^2}$ hay ${a^2} = 2{b^2}$ (1)

Kết quả trên chứng tỏ a là số chẵn, nghĩa là ta có a = 2c với c là số nguyên.

Thay a = 2c vào (1) ta được: ${\left( {2c} \right)^2} = 2{b^2}$ hay ${b^2} = 2{c^2}$

Kết quả trên chứng tỏ b phải là số chẵn.

Hai số a và b đều là số chẵn, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Vậy $\sqrt 2$ là số vô tỉ