Câu 53 trang 13 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh...

Chứng minh:

a) Số $\sqrt 3$ là số vô tỉ;

b) Các số $5\sqrt 2$; $5\sqrt 2$ đều là số vô tỉ.

Gợi ý làm bài

a) Giả sử $\sqrt 3$ không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho $\sqrt 3  = {a \over b}$ với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Ta có: ${\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {{a \over b}} \right)^2}$ hay ${a^2} = 3{b^2}$ (1)

Kết quả trên chứng tỏ a chia hết cho 3, nghĩa là ta có a = 3c với c là số nguyên.

Thay a = 3c vào (1) ta được: ${\left( {3c} \right)^2} = 3{b^2}$ hay ${b^2} = 3{c^2}$

Kết quả trên chứng tỏ a chia hết cho 3, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Vậy $\sqrt 3$ là số vô tỉ.

b) *Giả sử $5\sqrt 2$ là số hữu tỉ a, nghĩa là số số hữu tỉ x mà $5\sqrt 2  = a.$

Suy ra: $\sqrt 2  = {a \over 5}$ hay $\sqrt 2$ là số hữu tỉ.

Điều này vô lí vì $\sqrt 2$ là số vô tỉ.

Vậy $5\sqrt 2$ là số vô tỉ.

*Giả sử $3 + \sqrt 2$ là số hữu tỉ b, nghĩa là số số hữu tỉ b mà:

$3 + \sqrt 2  = b$

Suy ra: $\sqrt 2  = b - 3$ hay $\sqrt 2$ là số hữu tỉ.

Điều này vô lí vì $\sqrt 2$ là số vô tỉ.

Vậy $3 + \sqrt 2$ là số vô tỉ.