Câu 83* trang 171 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, OO'...

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, OO’ = 3cm. Qua A kẻ một đường thẳng cắt các đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại E và F ( A nằm giữa E và F). Tính xem đoạn thẳng EF có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu? 

Kẻ OI ⊥ AE, O’K ⊥ AF

Trong đường tròn (O), ta có:

   $IA = IE = {1 \over 2}AE$ ( đường kính vuông góc với dây cung)

Trong đường tròn (O’), ta có:

      $KA = KF = {1 \over 2}AF$ (đường kính vuông góc với dây cung)

Ta có:  EF = AE = AF

Suy ra: EF = 2IA = 2AK = 2(IA + AK) = 2IK        (1)

Kẻ O’H ⊥ OI

Khi đó tứ giác IHO’K là hình chữ nhật ( có ba góc vuông)

Suy ra: O’H = IK

Trong tam giác OHO’ ta có: $O’H  \le {\rm{OO’}}$ =3 (cm)

Suy ra: $IK  \le {\rm{OO}}’$                       (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $EF  \le {\rm{2OO’}}= 6 (cm)$

Ta có: EF = 6cm khi H và O trùng nhau hay EF // OO’

Vậy EF có độ dài lớn nhất bằng 6cm khi và chỉ khi EF // OO’.