Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:
a) Tam giác EBF là tam giác cân ;
b) Tam giác HAF là tam giác cân ;
c) HA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
a) Gọi I là giao điểm của AD và BC
Vì BC là đường trung trực của AD nên theo tính chất đường trung trực ta có:
BA = BD
Tam giác BAD cân tại B có BI ⊥ AD nên BI là tia phân giác của góc ABD.
Suy ra: ^ABI=^DBIˆABI=ˆDBI
Mà ^ABI=^HBFˆABI=ˆHBF (đối đỉnh)
và ^DBI=^HBEˆDBI=ˆHBE ( đối đỉnh)
Suy ra: ^HBE=^HBFˆHBE=ˆHBF
Advertisements (Quảng cáo)
Tam giác EBF có BH là tia phân giác của góc EBF và BH ⊥ EF nên tam giác EBF cân tại B.
b) Tam giác EBF cân tại B nên HE = HF
Tam giác AEF vuông tại A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:
HA=HE=HF=12EFHA=HE=HF=12EF (tính chất tam giác vuông)
Vậy tam giác AHF cân tại H.
c) Tam giác AHF cân tại H nên ^HAF=^HFAˆHAF=ˆHFA (1)
Tam giác AOB cân tại O nên ^OAB=^OBAˆOAB=ˆOBA
Mà ^ABI=^HBFˆABI=ˆHBF ( đối đỉnh)
Suy ra: ^OAB=^HBFˆOAB=ˆHBF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ^HAO=^HAF+^OAB=^HFB+^HBFˆHAO=ˆHAF+ˆOAB=ˆHFB+ˆHBF (3)
Tam giác BHF vuông tại H nên ^HFB+^HBF=90∘ˆHFB+ˆHBF=90∘ (4)
Từ (3) và (4) suy ra: ^HAO=90∘ˆHAO=90∘ hay HA ⊥ AO
Vậy HA là tiếp tuyến của đường tròn (O).