Bài 3.29 trang 71 Toán 9 Cùng khám phá tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau: a) (frac{{xsqrt y + ysqrt x }}{{sqrt {xy} }}...

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}:\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }} = x - y$ với x, y dương và $x \ne y$

b) $\frac{a}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\sqrt {25{a^4}{{\left( {a - b} \right)}^4}} = 5{a^3}$ với $a \ne b$

c) $\frac{1}{{\sqrt z - 2}} - \frac{1}{{\sqrt z + 2}} = \frac{4}{{z - 4}}$ với $z \ge 0$ và $z \ne 4$

a) + Với hai biểu thức A và B không âm, ta có: $\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B$.

+ Với các biểu thức A, B, C mà $A \ge 0,B \ge 0$ và $A \ne B$, ta có: $\frac{C}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$.

b) Với mọi biểu thức đại số A, ta có: $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$.

c) Thực hiện phép trừ hai phân thức với mẫu thức chung là $\left( {\sqrt z + 2} \right)\left( {\sqrt z - 2} \right)$.

a) $\frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}:\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }}$$= \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}:\frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}}}$$= \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right).\frac{{x - y}}{{\sqrt x + \sqrt y }}$$= x - y$ (đpcm)

b) $\frac{a}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\sqrt {25{a^4}{{\left( {a - b} \right)}^4}}$$= \frac{a}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\sqrt {{{\left[ {5{a^2}{{\left( {a - b} \right)}^2}} \right]}^2}}$$= \frac{{a.5{a^2}{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}$$= 5{a^3}$ (đpcm)

c) $\frac{1}{{\sqrt z - 2}} - \frac{1}{{\sqrt z + 2}}$$= \frac{{\sqrt z + 2 - \sqrt z + 2}}{{\left( {\sqrt z + 2} \right)\left( {\sqrt z - 2} \right)}}$$= \frac{4}{{z - 4}}$ (đpcm)