Bài 3.30 trang 71 Toán 9 Cùng khám phá tập 1: Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa)...

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) $\left( {\frac{1}{{\sqrt a - 1}} + \frac{1}{{a - \sqrt a }}} \right):\frac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}$;

b) $\frac{{xy + y\sqrt x + \sqrt x + 1}}{{y\sqrt x + 1}}$;

c) $\frac{{\sqrt {{a^3}} - \sqrt {{b^3}} + \sqrt {{a^2}b} - \sqrt {a{b^2}} }}{{\sqrt a + \sqrt b }}$.

a) Ta có: $\frac{1}{{\sqrt a - 1}} + \frac{1}{{a - \sqrt a }} = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}$, $\frac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}} = \frac{{\sqrt a + 1}}{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}$, từ đó rút gọn biểu thức.

b) Ta có: $xy + y\sqrt x + \sqrt x + 1 = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {y\sqrt x + 1} \right),$ từ đó rút gọn biểu thức.

c) Ta có: $\sqrt {{a^3}} - \sqrt {{b^3}} + \sqrt {{a^2}b} - \sqrt {a{b^2}} = \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {a - b} \right)$, từ đó rút gọn biểu thức.

a) $\left( {\frac{1}{{\sqrt a - 1}} + \frac{1}{{a - \sqrt a }}} \right):\frac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}$$= \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a + 1}}$$= \frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a }}$;

b) $\frac{{xy + y\sqrt x + \sqrt x + 1}}{{y\sqrt x + 1}}$$= \frac{{\sqrt x \left( {y\sqrt x + 1} \right) + \left( {y\sqrt x + 1} \right)}}{{y\sqrt x + 1}}$$= \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {y\sqrt x + 1} \right)}}{{y\sqrt x + 1}}$$= \sqrt x + 1$;

c) $\frac{{\sqrt {{a^3}} - \sqrt {{b^3}} + \sqrt {{a^2}b} - \sqrt {a{b^2}} }}{{\sqrt a + \sqrt b }}$$= \frac{{\left( {\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{a^2}b} } \right) - \left( {\sqrt {{b^3}} + \sqrt {a{b^2}} } \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b }}$$= \frac{{\sqrt {{a^2}} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) - \sqrt {{b^2}} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b }}$$= \frac{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {a - b} \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b }}$$= a - b$