Bài 24 trang 111 môn Toán 9 - tập 1, Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C....

Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.

a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tòn.

b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB=24cm. Tính độ dài OC.

a) Gọi H là giao điểm của OC và AB.

Vì $OH\perp AB$  nên $HA=HB$, suy ra OC là đường trung trực của AB, do đó $CB=CA.$

$\Delta CBO=\Delta CAO$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{CBO}=\widehat{CAO}$.

Vì AC là tiếp tuyến của đường trong (O) nên:

$AC\perp OA\Rightarrow \widehat{CAO}=90^{\circ}$.

Do đó $\widehat{CBO}=90^{\circ}$.

Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Xét tam giác HOA vuông tại H, có 

$OH^{2}=OA^{2}-AH^{2}$

$=15^{2}-12^{2}=81$

$\Rightarrow OH=9(cm)$

Xét tam giác BOC vuông tại B, có:

$OB^{2}=OC\cdot OH$

$\Rightarrow OC=\frac{OB^{2}}{OH}=\frac{225}{9}=25(cm).$

Nhận xét. Ở câu a) ta đã dùng dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến để chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn (O). Ta cũng có thể dựa vào tính chất đối xứng của đường kính để chứng minh CB là tiếp tuyến. Thực vậy B và A đối xứng qua đường thẳng chứa đường kính CO, mà CA là tiếp tuyến nên CB phải là tiếp tuyến.