Bài 41 trang 27 môn Toán 9 tập 2, Giải các hệ phương trình sau:...

Giải các hệ phương trình sau:

a) 

$\left\{ \matrix{ x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.$

b)  

$\left\{ \matrix{ {{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr {x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.$

a) 

$\left\{ \matrix{ x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1(1) \hfill \cr \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1(2) \hfill \cr} \right.$

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ (1) ta có  $x = {{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}(3)$

Thế (3) vào (2), ta được:  

$\eqalign{ & \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}} \right] + y\sqrt 5 = 1 \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + \left( {1 - \sqrt 3 } \right) + 5y = \sqrt 5 \cr & \Leftrightarrow - 2y + 5y = \sqrt 5 + \sqrt 3 - 1 \Leftrightarrow y = {{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3} \cr}$

Thế y vừa tìm được vào (3), ta được:

$x = {{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {{{\sqrt 5  + \sqrt 3  - 1} \over 3}} \right) + 1} \over {\sqrt 5 }}$ hay  $x = {{\sqrt 5  + \sqrt 3  + 1} \over 3}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: $\left( {{{\sqrt 5  + \sqrt 3  + 1} \over 3};{{\sqrt 5  + \sqrt 3  - 1} \over 3}} \right)$

b)Giải hệ phương trình: (I) 

$\left\{ \matrix{ {{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr {x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.$

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt $u = {x \over {x + 1}};v = {y \over {y + 1}}$

Thay vào hệ (I), ta có hệ mới với ẩn là $u$ và $v$ ta được:

$\left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 (1′) \hfill \cr u + 3v = - 1(2′) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 (3) \hfill \cr - 2u - 6v = 2(4) \hfill \cr} \right.$

Cộng (3) và (4) vế theo vế, ta được: $- 5{\rm{v}} = 2 + \sqrt 2  \Leftrightarrow v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}$

Thay $v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}$ vào (1’), ta được:

$2u = {{2 + \sqrt 2 } \over 5} + \sqrt 2  \Leftrightarrow 2u = {{2 + \sqrt 2  + 5\sqrt 2 } \over 5} = {{2 + 6\sqrt 2 } \over 5}$

$\Leftrightarrow u = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}$

Với giá trị của $u,v$ vừa tìm được, ta thế vào để tìm nghiệm $x, y$.

Ta có: 

$\left\{ \matrix{ {x \over {x + 1}} = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr {y \over {y + 1}} = {{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr} \right.đk\left\{ \matrix{ x \ne - 1 \hfill \cr y \ne - 1 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \left( {x + 1} \right)\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}} \right) \hfill \cr y = \left( {y + 1} \right){{\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)} \over 5} \hfill \cr} \right.$

$\left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} = \left( {x + 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 2 } \right) \hfill \cr 5y = \left( {y + 1} \right)\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }} \hfill \cr y = {{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }};{{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }}} \right)$ thỏa mãn điều kiện