Bài 53 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1, Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩ...

Bài 53. Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

a) $\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};$

b) $ab\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}b^{2}}};$

c) $\sqrt{\frac{a}{b^{3}}+\frac{a}{b^{4}}};$

d) $\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$

Hướng dẫn giải:

a)

$\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}$

$=\sqrt{18}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$

$=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3\sqrt{6}-6$

b)

Nếu $ab>0$ thì: 

$ab\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}b^{2}}}=\sqrt{a^2b^2+\frac{a^2b^2}{a^2b^2}}=\sqrt{a^2b^2+1}$

c)

$\sqrt{\frac{a}{b^{3}}+\frac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\frac{ab}{b^4}+\frac{a}{b^4}}=\sqrt{\frac{1}{b^4}.(ab+a)}=\frac{\sqrt{ab+a}}{b^2}$

d) $\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(a+\sqrt{ab})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}=\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}+\sqrt{ab}\sqrt{a}-\sqrt{ab}\sqrt{b}}{a-b}$

$=\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}+\sqrt{a^{2}b}-\sqrt{ab^{2}}}{a-b}=\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}+a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{a-b}$

$=\frac{(a-b)\sqrt{a}}{a-b}=\sqrt{a}.$

Nhận xét. Nhận thấy rằng để $\sqrt{a}$ có nghĩa thì a >0. Do đó $a=(\sqrt{a})^{2}$. Vì thế có thể phân tích tử thành nhân tử.

$\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a})^{2}+\sqrt{a}.\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}.$