Bài 53. Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :
a) \(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};\)
b) \(ab\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}b^{2}}};\)
c) \(\sqrt{\frac{a}{b^{3}}+\frac{a}{b^{4}}};\)
d) \(\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\)
Hướng dẫn giải:
a)
\(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}\)
\(=\sqrt{18}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|\)
\(=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3\sqrt{6}-6\)
Advertisements (Quảng cáo)
b)
Nếu \(ab>0\) thì:
\(ab\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}b^{2}}}=\sqrt{a^2b^2+\frac{a^2b^2}{a^2b^2}}=\sqrt{a^2b^2+1}\)
c)
\(\sqrt{\frac{a}{b^{3}}+\frac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\frac{ab}{b^4}+\frac{a}{b^4}}=\sqrt{\frac{1}{b^4}.(ab+a)}=\frac{\sqrt{ab+a}}{b^2}\)
d) \(\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(a+\sqrt{ab})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}=\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}+\sqrt{ab}\sqrt{a}-\sqrt{ab}\sqrt{b}}{a-b}\)
\(=\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}+\sqrt{a^{2}b}-\sqrt{ab^{2}}}{a-b}=\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}+a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{a-b}\)
\(=\frac{(a-b)\sqrt{a}}{a-b}=\sqrt{a}.\)
Nhận xét. Nhận thấy rằng để \(\sqrt{a}\) có nghĩa thì a >0. Do đó \(a=(\sqrt{a})^{2}\). Vì thế có thể phân tích tử thành nhân tử.
\(\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a})^{2}+\sqrt{a}.\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}.\)