Bài 95 trang 105 SGK Toán 9 tập 2, Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác 90o) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng...

Bài 95. Các đường cao hạ từ $A$ và $B$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$ (góc $C$ khác $90^0$) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Chứng minh rằng:

a) $CD = CE$ ;     b) $ΔBHD$ cân ;     c) $CD = CH$.

Ta có: $\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}B}$ (cùng chắn cung $AB$)

 $\Rightarrow \widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{E}}}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau)

⇒ $sđ\overparen{CD}$= $sđ\overparen{CE}$

Suy ra $CD = CE$

b) Ta có $\widehat {EBC}$ và $\widehat {CB{\rm{D}}}$ là góc nội tiếp trong đường tròn $O$ nên :

 $\widehat {EBC} = {1 \over 2} sđ\overparen{CE}$ và $\widehat {CB{\rm{D}}} = {1 \over 2}sđ\overparen{CD}$ 

Mà $sđ\overparen{CD}$= $sđ\overparen{CE}$

nên $\widehat {EBC} = \widehat {CB{\rm{D}}}$

Vậy $∆BHD$ cân tại $B$

c) Vì $∆BHD$ cân và $BK$ là đường cao cũng là đường trung trực của $HD$. Điểm $C$ nằm trên đường trung trực của $HD$ nên $CH = CD$