Bài 96 trang 105 SGK Toán 9 tập 2, Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:...

Bài 96. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và tia phân giác của góc $A$ cắt đường tròn tại $M$. Vẽ đường cao $AH$. Chứng minh rằng:

a) $OM$ đi qua trung điểm của dây $BC$.

b) $AM$ là tia phân giác của góc $OAH$.

a) Vì $AM$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ nên $\widehat {BAM} = \widehat {MAC}$  

Mà $\widehat {BAM}$ và $\widehat {MAC}$ đều là góc nội tiếp của $(O)$ nên 

$\overparen{BM}$=$\overparen{MC}$

⇒ $M$ là điểm chính giữa cung $BC$

Vậy $OM \bot BC$ và $OM$ đi qua trung điểm của $BC$

b) Ta có : $OM \bot BC$ và $AH\bot BC$ nên $AH//OM$

$\Rightarrow \widehat {HAM} = \widehat {AM{\rm{O}}}$  (so le trong)  (1)

Mà $∆OAM$ cân tại $O$ nên $\widehat {AM{\rm{O}}} = \widehat {MAO}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {HA{\rm{M}}} = \widehat {MAO}$ 

Vậy $AM$ là đường phân giác của góc $OAH$