Câu hỏi/bài tập:
Tứ giác ABCD có hai góc đối diện B và D vuông, hai góc kia không vuông.
a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C và D. Ta gọi đó là đường tròn (C).
b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD của tứ giác. Chứng minh rằng \(IK \bot BD\).
c) Kí hiệu các tiếp tuyến của đường tròn (C) tại A, B và C lần lượt là a, b và c. Giả sử b cắt a và c theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng tứ giác AEFC là một hình thang.
d) Chứng minh rằng \(EF = AE + CF\).
a) Ta có \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên ABCD là tứ giác nội tiếp
b) + AC là đường kính của (C) nên I là tâm của (C).
+ Suy ra \(ID = IB\). Mà \(KD = KB\) nên IK là đường trung trực của DB. Vậy IK vuông góc với DB.
c) Vì \(AC \bot AE\), \(AC \bot CF\) suy ra AE // CF nên AEFC là hình thang.
d) Theo tính chất của tiếp tuyến có \(EB = EA,\;BF = FC\) nên \(EF = EB + BF = EA + FC\).
a) Ta có \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên ABCD là tứ giác nội tiếp. Do vậy tồn tại đường tròn (C) đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b) Ta có AC là đường kính của (C) (do AC chắn một cung \(90^\circ \)) nên I là tâm của (C). Từ đó \(ID = IB\), lại có \(KD = KB\) nên IK là đường trung trực của DB. Vậy IK vuông góc với DB.
c) Ta có \(AC \bot AE\), \(AC \bot CF\) suy ra AE // CF nên AEFC là hình thang.
d) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có: \(EB = EA,\;BF = FC.\)
Do đó \(EF = EB + BF = EA + FC\).