Bài 10 trang 135 vở thực hành Toán 9 tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại B, góc ∠ A = 30^o, AB = 6cm...

Cho tam giác ABC vuông tại B, góc $\widehat A = {30^o},AB = 6cm$. Vẽ tia Bt sao cho $\widehat {tBC} = {30^o}$, cắt tia AC ở D (C nằm giữa A và D).

a) Chứng minh tam giác ABD cân tại B.

b) Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng AB.

a) + Sử dụng tính chất tổng ba góc trong một tam giác vào tam giác ABD, tính được góc ADB.

+ Suy ra $\widehat {ADB} = \widehat {BAD}$ nên $\Delta$ABD cân tại B.

b) + Ta có: $AC = \frac{{AB}}{{\cos A}},BC = AB.\tan A$ nên tính được AC, BC.

+ Chứng minh được $BC = CD$ nên tính được CD.

+ Kẻ DH vuông góc với AB tại H, có $DH = AD.\sin \widehat {DAB} = \left( {AC + CD} \right)\sin \widehat {DAB}$ nên tính được DH.

a) Ta có: $\widehat {BAD} + \widehat {BDA} + \widehat {ADB} = {180^o}$ (Tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\widehat {ADB} = {180^0} - \widehat {BAD} - \widehat {ABC} - \widehat {CBD}$$= {180^0} - {30^0} - {90^0} - {30^0} = {30^0}$

Vậy $\widehat {ADB} = \widehat {BAD}$ nên $\Delta$ABD là tam giác cân tại B.

b) Ta có:

$AC = \frac{{AB}}{{\cos A}} = \frac{6}{{\cos {{30}^o}}} = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)$.

$BC = AB.\tan {30^o} = 6.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = 2\sqrt 3 \left( {cm} \right)$.

Lại có: $BC = CD$ do $\widehat {CBD} = \widehat {CDB}$ (đều bằng ${30^o}$) nên $CD = 2\sqrt 3 \left( {cm} \right)$.

Kẻ DH vuông góc với AB tại H. Ta có:

$DH = AD.\sin \widehat {DAB} = \left( {AC + CD} \right)\sin \widehat {DAB} \\= \left( {4\sqrt 3 + 2\sqrt 3 } \right).\sin {30^o} = 3\sqrt 3 \left( {cm} \right).$