Bài 6 trang 113 vở thực hành Toán 9 tập 2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O)...

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng $AH = 2OM$.

+ Kẻ đường cao CD của tam giác ABC. Gọi N là trung điểm của cạnh AC.

+ Chứng minh $\widehat {AON} = \frac{{\widehat {AOC}}}{2} = \widehat {ABC}$, suy ra $\widehat {NAO} = {90^o} - \widehat {AON} = {90^o} - \widehat {ABC} = \widehat {DAH}$.

+ Chứng minh tương tự ta có: $\widehat {MCO} = {90^o} - \widehat {MOC} = \widehat {DCA}$

+ Chứng minh $\Delta NAO\backsim \Delta DAH\left( g.g \right)$, suy ra $AH = \frac{{AO.DA}}{{AN}} = \frac{{2AO.DA}}{{AC}}.$

+ Chứng minh $\Delta OMC\backsim \Delta ADC\left( g.g \right)$ nên $2OM = \frac{{2OC.AD}}{{AC}} = \frac{{2OA.DA}}{{AC}} = AH$

Kẻ đường cao CD của tam giác ABC. Gọi N là trung điểm của cạnh AC. Khi đó tam giác AOC cân tại O nên ON cũng là phân giác của góc AOC. Vậy $\widehat {AON} = \frac{{\widehat {AOC}}}{2} = \widehat {ABC}$.

Suy ra $\widehat {NAO} = {90^o} - \widehat {AON} = {90^o} - \widehat {ABC} = \widehat {DAH}$.

Tương tự $\widehat {MCO} = {90^o} - \widehat {MOC} = \widehat {DCA}$.

Hai tam giác NAO và DAH có: $\widehat {NAO} = \widehat {DAH}$ (chứng minh trên), $\widehat {ANO} = \widehat {ADH} = {90^o}$. Do đó, $\Delta NAO\backsim \Delta DAH\left( g.g \right)$. Suy ra $\frac{{AO}}{{AH}} = \frac{{AN}}{{DA}}$, hay $AH = \frac{{AO.DA}}{{AN}} = \frac{{2AO.DA}}{{AC}}.\left( 1 \right)$

Hai tam giác OMC và ADC có: $\widehat {MCO} = \widehat {DCA}$ (chứng minh trên), $\widehat {OMC} = \widehat {ADC} = {90^o}$.

Do đó, $\Delta OMC\backsim \Delta ADC\left( g.g \right)$. Suy ra $\frac{{OM}}{{AD}} = \frac{{OC}}{{AC}}$. Do đó

$2OM = \frac{{2OC.AD}}{{AC}} = \frac{{2OA.DA}}{{AC}} = AH$ (theo (1)).