Câu hỏi/bài tập:
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) ^EFH=^HBC,^FEH=^HCBˆEFH=ˆHBC,ˆFEH=ˆHCB;
b) ^BHF=^BAC=^CHEˆBHF=ˆBAC=ˆCHE.
a) + Chứng minh các tam giác vuông BFC và BEC cùng nội tiếp đường tròn đường kính BC nên tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC. Từ đó suy ra ^EFC=^EBCˆEFC=ˆEBC.
+ Chứng minh tương tự ta có: ^FEH=^HCBˆFEH=ˆHCB.
b) + Chứng minh các tam giác vuông AEH và AFH cùng nội tiếp đường tròn đường kính AH nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH.
+ Chứng minh ^EHF+^EAF=180oˆEHF+ˆEAF=180o, suy ra ^BHF=180o−^EHF=^EAF=^BACˆBHF=180o−ˆEHF=ˆEAF=ˆBAC.
+ Chứng minh tương tự ta có: ^CHE=^BACˆCHE=ˆBAC.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Ta có: ^BFC=^BEC=90oˆBFC=ˆBEC=90o. Do vậy các tam giác vuông BFC và BEC cùng nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Suy ra, tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC. Vì ^EFCˆEFC và ^EBCˆEBC là hai góc nội tiếp đường tròn ngoại tiếp của tứ giác này và cùng chắn cung CE nên ^EFC=^EBCˆEFC=ˆEBC. Suy ra ^EFH=^EFC=^EBC=^HBCˆEFH=ˆEFC=ˆEBC=ˆHBC.
Tương tự ta có: ^FEH=^HCBˆFEH=ˆHCB.
b) Ta có: ^AEH=^AFH=90oˆAEH=ˆAFH=90o. Do vậy các tam giác vuông AEH và AFH cùng nội tiếp đường tròn đường kính AH.
Suy ra, tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH. Vì góc FAE và góc FHE là hai góc đối của tứ giác nội tiếp AEHF nên ^EHF+^EAF=180oˆEHF+ˆEAF=180o.
Suy ra ^BHF=180o−^EHF=^EAF=^BACˆBHF=180o−ˆEHF=ˆEAF=ˆBAC.
Tương tự ta có: ^CHE=^BACˆCHE=ˆBAC.
Vậy ^BHF=^BAC=^CHEˆBHF=ˆBAC=ˆCHE.