Advertisements (Quảng cáo)
Bài 1. Cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; – 3; 0), P(0; 0; 4). Nếu MNPQ là một hình bình hành thì tọa độ điểm Q là:
(A) (-2; -3; 4) (B) (3; 4; 2)
(C) (2; 3; 4) (D) (-2; -3; -4)
Giải
MNPQ là hình bình hành
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 – 2 = 0 – {x_Q} \hfill \cr
– 3 – 0 = 0 – {y_Q} \hfill \cr
0 – 0 = 4 – {z_Q} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_Q} = 2 \hfill \cr
{y_Q} = 3 \hfill \cr
{z_Q} = 4 \hfill \cr} \right.\)
Vậy Q(2; 3; 4).
Chọn (C).
Bài 2. Cho ba điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\,\,\,\,B\left( {1;0; – 1} \right)\,\,\,\,C\left( {0; – 1;2} \right).\) Tam giác ABC là:
(A) Tam giác cân đỉnh A;
(B) Tam giác vuông đỉnh A;
(C) Tam giác đều;
(D) Không phải như (A), (B), (C).
Ta có
\(\eqalign{
& AB = \sqrt {{{\left( {1 – 1} \right)}^2} + {{\left( {0 – 2} \right)}^2} + {{\left( {-1 – 0} \right)}^2}} = \sqrt 5 \cr
& AC = \sqrt {{{\left( {0 – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 1 – 2} \right)}^2} + {{\left( {2 – 0} \right)}^2}} = \sqrt {14} \cr
& BC = \sqrt {{{\left( {0 – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 1 – 0} \right)}^2} + {{\left( {2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {11} \cr
& \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} > A{C^2} \cr} \)
\(AC>BC>AB\)
Chọn (D)
Bài 3. Cho tam giác ABC có A=(1;0;1), B=(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao tam giác kẻ từ C là:
(A) \(\sqrt {26} \) (B) \({{\sqrt {26} } \over 2}\) (C) \({{\sqrt {26} } \over 3}\) (D) 26
Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là: \(h = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = {{\sqrt {26} } \over 3}.\)
Chọn (C).
Bài 4. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là \(\left( {1;1;1} \right)\,\,;\,\,\left( {2;3;4} \right)\,\,;\,\,\left( {6;5;2} \right).\) Diện tích hình bình hành đó bằng:
(A) \(2\sqrt {83} \) (B) \(\sqrt {83} \) (C) 83 (D) \({{\sqrt {83} } \over 2}\)
A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(6; 5; 2).
\({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 2\sqrt {83} .\)
Chọn (A).
Bài 5. Cho \(A\left( {1;0;0} \right)\,\,;\,\,B\left( {0;1;0} \right)\,\,;\,\,C\left( {0;0;1} \right)\) và \(D\left( { – 2;1; – 1} \right)\). Thể tích của tứ diện ABCD là:
(A) 1 (B) 2 (C) \({1 \over 3}\) (D) \({1 \over 2}\)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( { – 1;1;0} \right),\overrightarrow {AC} \left( { – 1;0;1} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
0\,\,\,\, – 1 \hfill \cr
1\,\,\,\,\, – 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
– 1\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
– 1\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( {1;1;1} \right) \cr
& \overrightarrow {AD} \left( { – 3;1; – 1} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 1.\left( { – 3} \right) + 1.1 + 1.\left( { – 1} \right) = – 3 \cr
& \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {3 \over 6} = {1 \over 2}. \cr} \)
Chọn D
Bài 6. Cho \(A\left( { – 1; – 2;4} \right)\,\,;\,\,B\left( { – 4; – 2;0} \right)\,\,;\,\,C\left( {3; – 2;1} \right)\) và \(D\left( {1;1;1} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D là:
(A) 3 (B) 1 (C) 2 (D) \({1 \over 2}\)
Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ D là khoảng cách từ D đến mp(ABC).
Ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( { – 3;0; – 4} \right),\overrightarrow {AC} \left( {4;0; – 3} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \matrix{
0\,\,\,\,\,\,\, – 4 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\, – 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
– 4\,\,\, – 3 \hfill \cr
– 3\,\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
– 3\,\,\,\,0 \hfill \cr
4\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( {0; – 25;0} \right) = – 25\left( {0;1;0} \right) \cr} \)
Suy ra mặt phẳng (ABC) đi qua A và nhận \(\overrightarrow n = \left( {0;1;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (ABC): \(y + 2 = 0\).
\( \Rightarrow h = d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt 1 }} = 3.\)
Chọn (A).
Bài 7. Cho bốn điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\,\,\,\,B\left( {1;2;1} \right)\,\,C\left( {1;1;2} \right)\) và \(D\left( {2;2;1} \right).\) Tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
(A) \(\left( {{3 \over 2}, – {3 \over 2},{3 \over 2}} \right)\) (B) \(\left( {{3 \over 2},{3 \over 2},{3 \over 2}} \right)\)
(C) \(\left( {3;3;3} \right)\) (D) \(\left( {3; – 3;3} \right).\)
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng
\({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0\,\,\left( 1 \right)\)
Thay tọa độ của A, B, C, D vào (1) ta được hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
3 – 2a – 2b – 2c + d = 0 \hfill \cr
6 – 2a – 4b – 2c + d = 0 \hfill \cr
6 – 2a – 2b – 4c + d = 0 \hfill \cr
9 – 4a – 4b – 2c + d = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = b = c = {3 \over 2} \hfill \cr
d = 6 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I\left( {{3 \over 2};{3 \over 2};{3 \over 2}} \right)\).
Chọn (B).
Bài 8. Bán kính mặt cầu tâm I(3;3;-4) tiếp xúc với trục Oy bằng:
(A) 5 (B) 4 (C) \(\sqrt 5 \) (D) \({5 \over 2}.\)
Hình chiếu của I trên trục Oy là I’(0; 3; 0).
Khoảng cách từ điểm I đến trục Oy bằng \(R = II’ = \sqrt {{(-3)^2} + {4^2}} = 5.\)
Chọn (A).
Bài 9. Mặt cầu tâm \(I\left( {2;1; – 1} \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình là:
(A) \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4;\)
(B) \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 1;\)
(C) \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 4;\)
(D) \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2.\)
Mp(Oyz) có phương trình x = 0.
Khoảng cách từ I đến mp(Oyz) là \(R = {{\left| 2 \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 2.\)
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
\({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\)
Chọn (A).
Bài 10. Cho ba điểm \(A\left( {1;1;3} \right),\,\,B\left( { – 1;3;2} \right)\) và \(C\left( { – 1;2;3} \right).\)Mặt phẳng (ABC) có phương trình là:
(A) \(x + 2y + 2z – 3 = 0\)
(B) \(x – 2y + 3z – 3 = 0;\)
(C) \(x + 2y + 2z – 9 = 0;\)
(D) \({x^2} + 2y + 2z + 9 = 0\).
Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;2;2} \right).\)
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(x + 2y + 2z – 9 = 0\)
Chọn (C).
Bài 11. Cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\,\,B\left( {0;2;0} \right),\,\,C\left( {0;0;3} \right).\) Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt phẳng (ABC)?
(A) \(x + {y \over 2} + {z \over 3} = 1;\)
(B) \(6x + 3y + 2z – 6 = 0;\)
(C) \(6x + 3y + 2z + 6 = 0;\)
(D) \(12x + 6y + 4z – 12 = 0.\)
Giải
Mp(ABC) \({x \over 1} + {y \over 2} + {z \over 3} = 1\)
Chọn (C).
Bài 12. Cho hai điểm \(A\left( {1;3; – 4} \right)\) và \(B\left( { – 1;2;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:
(A) \(4x + 2y – 12z – 17 = 0;\)
(B) \(4x + 2y + 12z – 17 = 0;\)
(C) \(4x – 2y – 12z – 17 = 0;\)
(D) \(4x – 2y + 12z + 17 = 0.\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( { – 2; – 1;6} \right).\)
Trung điểm AB là \(I\left( {0;{5 \over 2}; – 1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng tung trực của AB đi qua I và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \) nên có dạng: \( – 2\left( {x – 0} \right) – \left( {y – {5 \over 2}} \right) + 6\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 2y – 12z – 17 = 0.\)
Chọn (A).
Bài 13. Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), a, b, c là những số dương thay đổi sao cho \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} = 2.\) Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là:
(A) (1; 1; 1) (B) (2; 2; 2)
(C) \(\left( {{1 \over 2},{1 \over 2},{1 \over 2}} \right)\) (D) \(\left( { – {1 \over 2}, – {1 \over 2}, – {1 \over 2}} \right)\).
Phương trình mp(ABC): \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\)
Mp(ABC) đi qua điểm \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) cố định.
Chọn (C).
Bài 14. Cho điểm \(A\left( { – 1;2;1} \right)\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 4y – 6z – 5 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 2y – 3z = 0.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
(A) Mp(Q) qua A và song song với (P);
(B) Mp(Q) không qua A và song song với (P);
(C) Mp(Q) qua A và không song song với (P);
(D) Mp(Q) không qua A và không song song với (P).
\(A \in \left( Q \right)\) và (Q) // (P).
Chọn (A).
Bài 15. Cho điểm \(A\left( {1;2; – 5} \right)\). Gọi M, N, P là hình chiếu của A lên ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (MNP) là:
(A) \(x + {y \over 2} – {z \over 5} = 1;\) (B) \(x + {y \over 2} + {z \over 5} = 1;\)
(C) \(x + {y \over 2} – {z \over 5} = 0;\) (D) \(x + {y \over 2} – {z \over 5} + 1 = 0.\)
Ta có \(M\left( {1;0;0} \right);N\left( {0;2;0} \right),P\left( {0;0; – 5} \right).\)
Mp(MNP): \({x \over 1} + {y \over 2} + {z \over { – 5}} = 1.\)
Chọn (A).
Bài 16. Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2\left( {x + y + z} \right) – 22 = 0\) và mặt phẳng (P): \(3x – 2y + 6z + 14 = 0.\) Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P) là:
(A 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4.
Tâm I(1; 1; 1).
\(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = {{\left| {3 – 2 + 6 + 14} \right|} \over {\sqrt {9 + 4 + 36} }} = 3.\)
Chọn (C).
Bài 17. Mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C, trọng tâm tam giác ABC là \(G\left( { – 1; – 3;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng (P) là:
(A) \(x + y – z – 5 = 0;\)
(B) \(2x – 3y – z – 1 = 0;\)
(C) \(x + 3y – 2z + 1 = 0;\)
(D) \(6x + 2y – 3z + 18 = 0.\)
Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) thì \(G\left( {{a \over 3};{b \over 3};{c \over 3}} \right) \Rightarrow a = – 3,\,\,b = – 9,\,\,c = 6.\)
Mp(ABC): \({x \over { – 3}} + {y \over { – 9}} + {z \over 6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 2y – 3z + 18 = 0.\)
Chọn (D).
Bài 18. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (A’MD).
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Kéo dài DM cắt AB tại E. Khi đó
\(\eqalign{
& A = \left( {0;0;0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,E = \left( {2;0;0} \right) \cr
& D = \left( {0;1;0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,A’ = \left( {0;0;1} \right) \cr} \)
Bước 2. Viết phương trình mặt phẳng (A’MD):
\({x \over 2} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 2z – 2 = 0.\)
Bước 3. Khoảng cách \(d\left( {A;\left( {A’MD} \right)} \right) = {{\left| { – 2} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = {2 \over 3}.\)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Chon A
Bài 19. Cho hai điểm \(A\left( {1; – 1;5} \right)\) và \(B\left( {0;0;1} \right)\). Mặt phẳng (P) chứa A, B và song song với Oy có phương trình là:
(A) \(4x – z + 1 = 0\)
(B) \(4x + y – z + 1 = 0\)
(C) \(2x + z – 5 = 0\)
(D) \(y + 4z – 1 = 0.\)
Mp(P) qua A và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow j } \right]\) với \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right).\)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( { – 1;1; – 4} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, – 4 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
– 4\,\,\, – 1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
– 1\,\,\,\,1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( {4;0; – 1} \right) \cr} \)
Chon A
Bài 20. Mặt phẳng (P) chứa trục Oz và điểm \(A\left( {2; – 3;5} \right)\) có phương trình là:
(A) \(2x + 3y = 0;\) (B) \(2x – 3y = 0;\)
(C) \(3x + 2y = 0;\) (D) \(3x – 2y + z = 0.\)
Mp(P) qua O và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow k } \right]\) với \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right).\)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {OA} \left( {2; – 3;5} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| \matrix{
– 3\,\,\,\,5 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
5\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\, – 3 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( { – 3; – 2;0} \right) \cr} \)
Chọn C
Bài 21. Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(x – y – 1 = 0.\) Điểm \(H\left( {2; – 1; – 2} \right)\) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên một mặt phẳng (Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
(A) \({30^0}\) (B) \({45^0}\) (C) \({60^0}\) (D) \({90^0}\)
mp(Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m = \overrightarrow {OH} = \left( {2; – 1; – 2} \right)\)
Mp(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; – 1;0} \right)\).
\(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì:
\(\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow m .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow m } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {2 + 1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 1 + 0} }} = {1 \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = {45^0}.\)
Chọn (B).
Bài 22. Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng \(d:{x \over 3} = {{y – 1} \over 4} = z + 3\). Phương trình mặt phẳng (A,d) là:
(A) \(23x + 17y – z + 14 = 0\)
(B) \(23x – 17y – z + 14 = 0;\)
(C) \(23x + 17y + z – 60 = 0;\)
(D) \(23x – 17y + z – 14 = 0.\)
d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3,4,1} \right)\) và đi qua \(M\left( {0,1, – 3} \right).\)
Mp(A, d) qua A và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right].\)
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
\(23x – 17y – z + 14 = 0\)
Chọn (B).
Bài 23.Cho hai đường thẳng
\({d_1}:{{x – 1} \over 1} = {y \over 2} = {{z – 3} \over 3}\,\,;\,\,\,{d_2}:\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 + 4t \hfill \cr
z = 2 + 6t. \hfill \cr} \right.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) \({d_1},{d_2}\) cắt nhau; (B) \({d_1},{d_2}\) trùng nhau;
(C) \({d_1}//{d_2}\); (D) \({d_1},{d_2}\) chéo nhau.
\({d_1},{d_2}\) có cùng vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1,2,3} \right)\) và \(A\left( {1,0,3} \right) \in {d_1},\) nhưng \(A \notin {d_2}.\) Vậy \({d_1}\) // \({d_2}\)
Chọn (C).
Bài 24.Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 3y + z + 1 = 0\) và đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 2 – t \hfill \cr
z = 2 – 3t. \hfill \cr} \right.\) Tọa độ giao điểm A của d và \(\left( \alpha \right)\) là:
Advertisements (Quảng cáo)
(A) A(3; 0; 4) (B) \(A\left( {3; – 4;0} \right)\)
(C) \(A\left( { – 3;0;4} \right)\) (D) \(A\left( {3;0; – 4} \right)\).
Thay x, y, z từ d vào \(\left( \alpha \right)\) ta có: \(1 + t + 3\left( {2 – t} \right) + 2 – 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 2.\)
Vậy \(A\left( {3,0, – 4} \right).\)
Chọn (D).
Bài 25.Cho đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 – t \hfill \cr
z = 2 + t. \hfill \cr} \right.\)
Phương trình nào sau đây cũng là phương trình của đường thẳng d?
(A)
\(\left\{ \matrix{
x = 2 – 2t \hfill \cr
y = – t \hfill \cr
z = 3 + t\,; \hfill \cr} \right.\)
(B)
\(\left\{ \matrix{
x = 4 – 2t \hfill \cr
y = – 1 + t \hfill \cr
z = 4 – t\,; \hfill \cr} \right.\)
(C)
\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr
y = 1 – t \hfill \cr
z = 4 + t\,; \hfill \cr} \right.\)
(D)
\(\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 + t \hfill \cr
z = 2 + t\. \hfill \cr} \right.\)
d đi qua \(M\left( {4, – 1,4} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; – 1;1} \right).\)
Chọn (B).
Bài 26. Cho hai điểm \(A\left( {2;3; – 1} \right),B\left( {1;2;4} \right)\) và ba phương trình sau:
\(\left( I \right)\,\,\left\{ \matrix{
x = 2 – t \hfill \cr
y = 3 – t \hfill \cr
z = – 1 + 5t\,; \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {II} \right)\,\,{{x – 2} \over 1} = {{y – 3} \over 1} = {{z + 1} \over { – 5}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {III} \right)\,\,\left\{ \matrix{
x = 1 – t \hfill \cr
y = 2 – t \hfill \cr
z = 4 + 5t\. \hfill \cr} \right.\)
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
(A) Chỉ có (I) là phương trình của đường thẳng AB;
(B) Chỉ có (III) là phương trình của đường thẳng AB;
(C) Chỉ có (I) và (II) là phương trình của đường thẳng AB;
(D) Cả (I), (II) và (III) là phương trình của đường thẳng AB.
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 1, – 1,5} \right).\)
Chọn (D).
Bài 27. Cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 3). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC).
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: Tọa độ trong tâm G của tam giác ABC là
\(\left\{ \matrix{
{x_G} = {{1 + 1 + 1} \over 3} = 1 \hfill \cr
{y_G} = {{3 + 2 + 1} \over 3} = 2 \hfill \cr
{z_G} = {{2 + 1 + 3} \over 3} = 2. \hfill \cr} \right.\)
Bước 2: Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { – 3;1;0} \right).\)
Bước 3:Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 – 3t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 2. \hfill \cr} \right.\)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
\(\overrightarrow {AB} = \left( {0, – 1, – 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0, – 2,1} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { – 3,0,0} \right).\)
Chọn (C).
Bài 28.Gọi d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục Ox và vuông góc với đường thẳng
\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 2 – t \hfill \cr
z = 1 – 3t. \hfill \cr} \right.\)
Phương trình của d là:
(A)
\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 3t \hfill \cr
z = – t\,; \hfill \cr} \right.\)
(B)
\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = – 3t \hfill \cr
z = – t\,; \hfill \cr} \right.\)
(C) \({x \over 1} = {y \over 3} = {z \over { – 1}};\)
(D)
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = – 3t \hfill \cr
z = t\. \hfill \cr} \right.\)
Ox có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = \left( {1,0,0} \right).\)
\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1, – 1, – 3} \right).\)
d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow u } \right] = \left( {0,3, – 1} \right).\)
Chọn (D).
Bài 29.Cho đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = 3 + 4t \hfill \cr
y = – 1 – t \hfill \cr
z = 4 + 2t\, \hfill \cr} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y – z + 3 = 0.\) Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
(A) d song song với (P); (B) d cắt (P);
(C) d vuông góc với (P); (D) d nằm trên (P).
\(A\left( {3, – 1,4} \right),B\left( { – 1,0,2} \right) \in d\) và \(A,B \in \left( P \right).\)
Chọn (D).
Bài 30. Cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = 6 – 4t \hfill \cr
y = – 2 – t \hfill \cr
z = – 1 + 2t\. \hfill \cr} \right.\)
Hình chiếu của A trên d có tọa độ là
(A) \(\left( {2; – 3;1} \right);\) (B) \(\left( {2; – 3; – 1} \right);\)
(C) \((2; 3; 1)\); (D) \(\left( { – 2;3;1} \right).\)
Giả sử \(H\left( {6 – 4t, – 2 – t, – 1 + 2t} \right)\) là hình chiếu của A trên d. Ta có \(\overrightarrow {AH} \)vuông góc với \(\overrightarrow u = \left( { – 4, – 1,2} \right)\) (là vectơ chỉ phương của d).
Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( {5 – 4t, – 3 – t, – 2 + 2t} \right).\)
\(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow – 4\left( {5 – 4t} \right) + 3 + t + 2\left( { – 2 + 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1.\)
Vậy \(H\left( {2, – 3,1} \right).\)
Chọn (A).
Bài 31. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(1; 1; 0), C(0; 1; 0) và D(0; 0; 2).
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: \(\overrightarrow {AC} = \left( { – 1;1;0} \right),\,\,\overrightarrow {BD} = \left( { – 1; – 1;2} \right),\,\,\overrightarrow {AB} = \left( {0;1;0} \right).\)
Bước 2: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {2;2;2} \right)\).
Bước 3: \(d\left( {AC,BD} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|}} = {2 \over {\sqrt {12} }} = {{\sqrt 3 } \over 3}.\)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Bài toán trên đúng.
Chọn (A).
Bài 32. Cho \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 1,\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {\pi \over 3}.\) Góc giữa vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow u – \overrightarrow v \) bằng:
(A) \({30^0}\) (B) \({45^0}\)
(C) \({60^0}\) (D) \({90^0}\)
Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 2.1.{1 \over 2} = 1 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow v \left( {\overrightarrow u – \overrightarrow v } \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v – {\left| {\overrightarrow v } \right|^2} = 1 – 1 = 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow v \bot \left( {\overrightarrow u – \overrightarrow v } \right). \cr} \)
Chọn (D).
Bài 33. Cho \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 5,\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {\pi \over 6}.\) Độ dài vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) bằng:
(A) 10 (B) 5;
(C) 8; (D) \(5\sqrt 3 .\)
\(\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 2.5.{1 \over 2} = 5.\)
Chọn (B).
Bài 34. Mặt phẳng \(2x – 3y + z – 1 = 0\) cắt các trục tọa độ tại các điểm:
(A) \(\left( {{1 \over 2};0;0} \right)\,\,\,\,\left( {0; – {1 \over 3};0} \right)\,\,\,\,\left( {0;0;1} \right);\)
(B) \(\left( {1;0;0} \right)\,\,\,\,\left( {0;{1 \over 3};0} \right)\,\,\,\,\left( {0;0;1} \right);\)
(C) \(\left( {{1 \over 2};0;0} \right)\,\,\,\,\left( {0;{1 \over 3};0} \right)\,\,\,\,\left( {0;0;1} \right);\)
(D) \(\left( {{1 \over 2};0;0} \right)\,\,\,\,\left( {0; – {1 \over 3};0} \right)\,\,\,\,\left( {0;0; – 1} \right).\)
\(\eqalign{
& y = z = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2},x = z = 0 \Rightarrow y = – {1 \over 3}. \cr
& x = y = 0 \Rightarrow z = 1. \cr} \)
Chọn (A).
Bài 35. Cho đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = – {9 \over 5} – t \hfill \cr
y = 5t \hfill \cr
z = {7 \over 5} + 3t\, \hfill \cr} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x – 2y + 3z – 1 = 0.\) Gọi d’ là hình chiếu của d trên (P). Trong các vectơ sau, vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của d’ ?
(A) \(\left( {5; – 51;39} \right);\)
(B) \(\left( {10; – 102; – 78} \right);\)
(C) \(\left( { – 5;51;39} \right);\)
(D) \(\left( {5;51;39} \right).\)
Vì ba vectơ của (A), (B), (C) cùng phương nên chọn (D).
Bài 36. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’, BC, DD’. Chứng minh rằng \(AC’ \bot \left( {MNP} \right).\)
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình 71;
Khi đó A(0; 0; 0), C’(1; 1; 1),
\(M = \left( {{1 \over 2};0;1} \right),N\left( {1;{1 \over 2};0} \right),P\left( {0;1;{1 \over 2}} \right).\)
Bước 2: \(\overrightarrow {AC’} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {MN} = \left( {{1 \over 2};{1 \over 2}; – 1} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { – {1 \over 2};1; – {1 \over 2}} \right).\)
Bước 3:
\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AC’} .\overrightarrow {MN} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {AC’} .\overrightarrow {MP} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow AC’ \bot \left( {MNP} \right).\)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Bài toán trên giải đúng
chọn A
Bài 37. Cho đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 2 – t. \hfill \cr} \right.\)
Phương trình đường vuông góc chung của d và trục Ox là:
(A)
\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = t\,; \hfill \cr} \right.\)
(B)
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = 2t \hfill \cr
z = t\,; \hfill \cr} \right.\)
(C)
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = 2 – t \hfill \cr
z = t\,; \hfill \cr} \right.\)
(D)
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = t\. \hfill \cr} \right.\)
Phương trình tham số của trục Ox là
\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\)
Lấy \(P\left( {0,t,2 – t} \right) \in d\) và \(Q’\left( {t’,0,0} \right) \in {\rm{Ox}}{\rm{.}}\)
\(\overrightarrow {PQ} = \left( {t’, – t,t – 2} \right),\) d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0,1, – 1} \right).\)
PQ là đường vuông góc chung của d và trục Ox
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow i = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– t – t + 2 = 0 \hfill \cr
t’ = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t’ = 0 \hfill \cr} \right..\)
Vậy \(P\left( {0,1,1} \right),Q\left( {0,0,0} \right).\)
PQ có phương trình
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = t \hfill \cr} \right..\)
Chọn (D).
Bài 38. Cho mặt phẳng (P): \(x – 2y – 3z + 14 = 0\) và điểm \(M\left( {1; – 1;1} \right)\). Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua mp(P) là
(A) \(\left( { – 1;3;7} \right);\)
(B) \(\left( {1; – 3;7} \right);\)
(C) \(\left( {2; – 3; – 2} \right);\)
(D) \(\left( {2; – 1;1} \right).\)
(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1, – 2, – 3} \right).\)
\(M’\left( {x,y,z} \right)\) đối xứng với M qua mp(P) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MM’} \) cùng phương với \(\overrightarrow n \) và trung điểm I của MM’ nằm trên (P).
Ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
{{x – 1} \over 1} = {{y + 1} \over { – 2}} = {{z – 1} \over { – 3}} \hfill \cr
{{x + 1} \over 2} – 2{{y – 1} \over 2} – 3{{z + 1} \over 2} + 14 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 1 \hfill \cr
y = 3 \hfill \cr
z = 7 \hfill \cr} \right..\)
Chọn (A).
Bài 39.Cho điểm \(A\left( {0; – 1;3} \right)\) và đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr
z = – t\. \hfill \cr} \right.\)
Khoảng cách từ A đến d bằng:
(A) \(\sqrt 3 ;\) (B) \(\sqrt {14} ;\)
(C) \(\sqrt 6 ;\) (D) \(\sqrt 8 .\)
d đi qua \(M(1, 2, 0)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2,0, – 1} \right).\)
Khoảng cách từ A đến d bằng \({{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {14} .\)
Chọn (B).
Bài 40. Cho điểm \(M\left( { – 1;2; – 3} \right).\) Gọi \({M_1},{M_2},{M_3}\) lần lượt là điểm đối xứng của M qua các mặt phẳng (Oxy), (Oxz), (Oyz). Phương trình \(mp\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) là:
(A) \(6x + 2y + 3z + 6 = 0;\)
(B) \(6x – 2y + 3z + 6 = 0;\)
(C) \(6x – 3y + 2z + 6 = 0;\)
(D) \(6x – 3y – 2z + 6 = 0.\)
\({M_1}\left( { – 1,2,3} \right),{M_2}\left( { – 1, – 2, – 3} \right),{M_3}\left( {1,2, – 3} \right);mp\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) qua có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right].\)
Chọn (C).
Bài 41. Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 49.\) Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) ?
(A) \(6x + 2y + 3z = 0;\)
(B) \(2x + 3y + 6z – 5 = 0;\)
(C) \(6x + 2y + 3z – 55 = 0;\)
(D) \(x + 2y + 2z – 7 = 0.\)
(S) có tâm \(I\left( {1, – 3,2} \right),\) bán kính R = 7.
\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 7.\)
Chọn (C).
Bài 42. Cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z = 0.\) Trong ba điểm (0; 0; 0); (1; 2; 3), (2; -1; -1), có bao nhiêu điểm nằm trong mặt cầu (S) ?
(A) 0 ; (B) 1 ;
(C) 2 ; (D) 3.
Lần lượt thay tọa độ ba điểm đã cho vào (S). Ta có \(O \in \left( S \right).\)
Chọn (B).