Bài 35 SGK trang 104 Hình học 12 Nâng cao, Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:...

Bài 35. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

a)

$d:\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 1 \hfill \cr} \right.$ và

$d’:\left\{ \matrix{ x = {2 - 3t’} \hfill \cr y ={ - 2 + 3t’} \hfill \cr z = 3 \hfill \cr} \right.$

b)

$d:\,{x \over { - 1}} = {{y - 4} \over 1} = {{z + 1} \over { - 2}}$ và

$d’:\left\{ \matrix{ x ={ - t’} \hfill \cr y = {2 + 3t’} \hfill \cr z = {- 4 + 3t’} \hfill \cr} \right.$

a) Đường thẳng d đi qua ${M_1}\left( {1; - 1;1} \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;0} \right)$.
Đường thẳng d’ đi qua điểm ${M_2}\left( {2; - 2;3} \right)$, có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;1;0} \right)$. Vì $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương nhưng $\overrightarrow {{u_1}}$; $\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương với $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {1; - 1;2} \right)$ nên hai đường thẳng đó song song.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng đó bằng khoảng cách từ ${M_1}$ tới d’ và bằng ${{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = 2$

b) Đường thẳng d đi qua $M\left( {0;4; - 1} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( { - 1;1; - 2} \right)$.
Đường thẳng d’ đi qua $M’\left( {0;2; - 4} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {u’}  = \left( { - 1;3;3} \right)$.
Ta có $\overrightarrow {MM’}  = \left( {0; - 2; - 3} \right)\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u’} } \right] = \left( {9;5; - 2} \right)$.
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right].\overrightarrow {MM’}  =  - 4 \ne 0 \Rightarrow d$ và d’ chéo nhau.
Khoảng cách giữa ${d_1}$ và ${d_2}$ là:

$d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right].\overrightarrow {MM’} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right]} \right|}} = {4 \over {\sqrt {{9^2} + {5^2} + {2^2}} }} = {{2\sqrt {110} } \over {55}}$