Bài 37 trang 16 SBT Toán 10 Cánh Diều: Tính các tổng sau (Không sử dụng máy tính cầm tay):...

Tính các tổng sau (Không sử dụng máy tính cầm tay):

a) $T = C_4^0 + \frac{1}{2}C_4^1 + \frac{1}{3}C_4^2 + \frac{1}{4}C_4^3 + \frac{1}{5}C_4^4$

b) $S = C_6^1 + 2C_6^2 + 3C_6^3 + 4C_6^4 + 5C_5^6 + 6C_6^6$

Bước 1: Ở ý a) áp dụng kết quả $\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}$ với $0 \le k \le n$ (chứng minh ở Bài 27a trang 14 SBT Toán 10 tập 2) và khai triển (a + b)⁵ với a = 1 và b = 1

Bước 2: Ở ý b) áp dụng kết quả  $kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}$ với $1 \le k \le n$  (chứng minh ở Bài 27a trang 14 SBT Toán 10 tập 2) và khai triển (a + b)⁵ với a = 1 và b = 1

a) Áp dụng kết quả $\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}$ với $0 \le k \le n$ (chứng minh ở Bài 27a trang 14 SBT Toán 10 tập 2), ta được:

Xét ${(a + b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}$

Thay a = 1, b = 1 vào khai triển trên ta có: ${(1 + 1)^5} = C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5$

$\Rightarrow C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {2^5} = 32$ $\Rightarrow C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 32 - C_5^0$

Khi đó: $T = \frac{1}{5}(C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5) = \frac{1}{5}(32 - C_5^0) = \frac{1}{5}(32 - 1)$$= \frac{{31}}{5}$

Vậy $T = \frac{{31}}{5}$

b) Áp dụng kết quả $kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}$ với $1 \le k \le n$  (chứng minh ở Bài 27b trang 14 SBT Toán tập 2), ta được:

Theo a) ta có: $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {2^5} = 32$

Khi đó: $S = 6.(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5) = 6.32 = 192$

Vậy S = 192