Cho tam giác ABC, kẻ phân giác AD. Đặt AB = c, AC = b. Chứng minh:
\(b\overrightarrow {DB} + c\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \) (*)
Bước 1: Biểu diễn độ dài DB (hoặc DC) theo DC (hoặc DB) và xác định hướng các vectơ tương ứng
Bước 2: Sử dụng định lí đường phân giác trong tam giác để biến đổi tỉ số độ dài \(\frac{{DB}}{{DC}}\)
Bước 3: Biến đổi đẳng thức ở bước 1 rồi kết luận
Ta có: \(DB = \frac{{DB}}{{DC}}.DC\) mà \(\overrightarrow {DB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) ngược hướng
\( \Rightarrow \overrightarrow {DB} = – \frac{{DB}}{{DC}}.\overrightarrow {DC} \)(1)
Theo giả thiết, AD là đường phân giác của ∆ABC
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{b}{c}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {DB} = – \frac{c}{b}.\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow b\overrightarrow {DB} = – c\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow b\overrightarrow {DB} + c\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \) (ĐPCM)