Bài 5 trang 69 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo: Chứng minh rằng với mọi góc (xleft( {0^circ  le x le 90^circ } right)), ta đ...

Chứng minh rằng với mọi góc $x\left( {0^\circ  \le x \le 90^\circ } \right)$, ta đều có:

a) $\sin x = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x}$ 

b) $\cos x = \sqrt {1 - {{\sin }^2}x}$

c) ${\tan ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\left( {x \ne 90^\circ } \right)$               d) ${\cot ^2}x = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\left( {x \ne 0^\circ } \right)$

a) Theo định nghĩa ta có $\sin x = {y_0},\cos x = {x_0}$

Với $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ là tọa độ điểm M sao cho $\widehat {xOM} = x$

Ta có ${x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$

$\Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x$

Mà $0^\circ  \le x \le 90^\circ$ nên $\sin x > 0$

$\Rightarrow \sin x = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x}$

b) Tương tự câu a) ta có:

$\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\ \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\end{array}$

Mà $0^\circ  \le x \le 90^\circ$ nên $\cos x > 0$$\Rightarrow \cos x = \sqrt {1 - {{\sin }^2}x}$

c) Với ${x_0} \ne 0$ ta có

 $\tan x = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}},\cos x \ne 0$ 

$\Rightarrow {\tan ^2}x = {\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)^2} \Rightarrow {\tan ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}$  (với $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 90^\circ$)   đpcm

c) Với ${y_0} \ne 0$ ta có

 $\cot x = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}},\sin x \ne 0$  

$\Rightarrow {\cot ^2}x = {\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right)^2} \Rightarrow {\cot ^2}x = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}$ (với $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0^\circ$)     đpcm