Giải bài 2.9 trang 23 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đợi chơi được sử dụng tối đa 12g hương liệu, 9 lít nước và 315g đường để pha chế hai loại nước A và B. Để pha chết 1 lít nước A cần 45g đường, 1 lít nước và 0,5g hương liệu; để pha chế 1 lít nước B cần 15g đường, 1 lít nước và 2g hương liệu. Mỗi lít nước A nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước B nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước mỗi loại để đội chơi được số điểm thưởng là lớn nhất?

- Tìm hệ bất phương trình từ bài toán trên

- Viết biểu thức về đội chơi được số điểm thưởng.

-  Vẽ hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$

-  Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

-  Tìm giá trị lớn nhất của đội chơi được số điểm thưởng.

• Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số lít nước loại A và B cần pha chế.

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,y \ge 0.$

Số hương liệu cần dùng để pha chế hai loại lít nước A và B là: $0,5x + 2y \le 12.$

Số lít nước cần dùng để pha chế hai loại nước A và B là: $x + y \le 9.$

Số g đường cần dùng để pha chế hai loại lít nước A và B là: $45x + 15y \le 315.$

Từ đó, ta có hệ bất phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{0,5x + 2y \le 12}\\{x + y \le 9}\\{45x + 15y \le 315}\end{array}.} \right.$

Số điểm thưởng của đội chơi nhận được là: $F\left( {x;y} \right) = 60x + 80y \to \max$

• Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{0,5x + 2y \le 12}\\{x + y \le 9}\\{45x + 15y \le 315}\end{array}} \right.$trên cùng mặt phẳng tọa độ $Oxy.$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $d:x = 0$ chứa điểm $\left( {1;0} \right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_1}:y = 0$ chứa điểm $\left( {0;1} \right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $0.5x + 2y \le 12$. Vẽ đường thẳng ${d_2}:0.5x + 2y = 12$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Chọn $O\left( {0;0} \right)$ là điểm không thuộc đường thẳng ${d_2}$ và thay vào biểu thức $0,5x + 2y,$ ta được: $0,5.0 + 2.0 = 0 < 12$ nên miền nghiệm của bất phương trình $0.5x + 2y \le 12$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_2}$ chứa điểm $O\left( {0;0} \right)$.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x + y \le 9$. Vẽ đường thẳng ${d_3}:x + y = 9$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Chọn $O\left( {0;0} \right)$ là điểm không thuộc đường thẳng ${d_3}$ và thay vào biểu thức $x + y,$ ta được: $0 + 0 = 0 < 9$ nên miền nghiệm của bất phương trình  $x + y = 9$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_3}$ chứa điểm $O\left( {0;0} \right)$.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $45x + 15y \le 315$. Vẽ đường thẳng ${d_4}:45x + 15y = 315$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Chọn $O\left( {0;0} \right)$ là điểm không thuộc đường thẳng ${d_4}$ và thay vào biểu thức $45x + 15y,$ ta được: $45.0 + 15.0 = 0 < 315$ nên miền nghiệm của bất phương trình $45x + 15y \le 315$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_4}$ chứa điểm $O\left( {0;0} \right)$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{0,5x + 2y \le 12}\\{x + y \le 9}\\{45x + 15y \le 315}\end{array}} \right.$là ngũ giác $OABCD$ với $A\left( {0;6} \right),\,\,B\left( {4;5} \right),\,\,C\left( {6;3} \right),\,\,D\left( {7;0} \right)$

Ta có: $F\left( {0;6} \right) = 60.0 + 80.6 = 480,$

 $F\left( {4;5} \right) = 60.4 + 80.5 = 640,$

$F\left( {0;0} \right) = 60.0 + 80.0 = 0,$

$F\left( {6;3} \right) = 60.6 + 80.3 = 600,$

$F\left( {7;0} \right) = 60.7 + 80.0 = 420.$

$\Rightarrow$ giá trị lớn nhất là $F\left( {4;5} \right) = 640.$

Vậy vần pha chế 4 lít nước loại A và 5 lít nước loại B thì số điểm thưởng nhận được là lớn nhất.