Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \({0^ \circ } < \alpha < {180^ \circ },\,\,\tan \alpha = 2.\) Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(G = 2\sin \alpha + \cos \alpha .\)
b) \(H = \frac{{2\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha – \cos \alpha }}.\)
Tính \(\cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}} \) và \(\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } .\)
Ta có: \({\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + 4}} = \frac{1}{5}\,\, \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)
\(\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 – \frac{1}{5}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\)
a) \(G = 2\sin \alpha + \cos \alpha = 2.\frac{{2\sqrt 5 }}{5} + \frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{5\sqrt 5 }}{5} = \sqrt 5 .\)
b) \(H = \frac{{2\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha – \cos \alpha }} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5} – \frac{{\sqrt 5 }}{5}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\frac{{\sqrt 5 }}{5}}} = 5.\)