Giải bài 4.15 trang 54 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống - Bài 9. Tích của một vectơ với một số : Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.. Gọi M là trung điểm của BC.. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM}...
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng −−→AH=2−−→OM.
b) Chứng minh rằng −−→OA+−−→OB+−−→OC=−−→OH.
c) Chứng minh rằng ba điểm G,H,O cùng thuộc một đường thẳng.
- Chứng minh tứ giác ABHC là hình bình hành
- Chứng minh MO là đường trung bình của ΔAA′H
- Chứng minh −−→OB+−−→OC=2−−→OM từ đó rút ra kết luận −−→OA+−−→OB+−−→OC=−−→OH.
- Chứng minh −−→OA+−−→OB+−−→OC=3−−→OG.
- Chứng minh −−→OH và −−→OG cùng phương
a) Xét (O) có: ˆABA′=ˆACA′=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒A′C⊥AC và A′B⊥AB (1)
Ta có: H là trực tâm của tam giác ABC.
⇒BH⊥AC và CH⊥AB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BH//A′C và A′B//CH.
Advertisements (Quảng cáo)
Xét tứ giác ABHC có: BH//A′C và A′B//CH
⇒ tứ giác ABHC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
⇒−−→BH=−−→A′C
Ta có: tứ giác ABHC là hình bình hành
nên M là trung điểm của A′H
Xét ΔAA′H có: M là trung điểm của A′H
O là trung điểm của AA′
⇒ MO là đường trung bình của ΔAA′H
⇒ MO//AH và 2MO=AH
⇒ hai vectơ −−→MO,−−→AH cùng hướng và 2−−→OM=−−→AH.
b) Ta có:
−−→OB+−−→OC=(−−→OM+−−→MB)+(−−→OM+−−→MC)=2−−→OM+(−−→MB+−−→MC)=2−−→OM
Ta có: −−→OA+−−→OB+−−→OC=−−→OA+2−−→OM=−−→OA+−−→AH=−−→OH (3)
c) Ta có: G là trọng tâm của ΔABC
nên −−→OA+−−→OB+−−→OC=3−−→OG. (4)
Từ (3) và (4) ⇒−−→OH=3−−→OG
⇒−−→OH và −−→OG cùng phương
hay ba điểm G,H,O cùng thuộc một đường thẳng.
