Giải bài 6.62 trang 27 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Trong Vật lí ta biết rằng, khi một vật được ném xiên với vận tốc ban đầu v₀, góc ném hợp với phương ngang Ox một góc $\alpha$, nếu ta bỏ qua sức cản của không khí và gió, vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực với gia tốc trọng trường $g \approx 9,8$ m/s², thì độ cao y (so với mặt đất) của vật phụ thuộc vào khoảng cách theo phương ngang x (tính đến mặt đất tại điểm ném) theo một hàm số bậc hai cho bởi công thức

$y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha$

Như vậy quỹ đạo chuyển động của vật là một phần của đường parabol. Hãy xác định

a) Các hệ số a, b và c của hàm số bậc hai này

b) Độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt được

c) Giả sử vận tốc ban đầu v₀ không đổi. Từ kết quả câu b) hãy xác định góc ném $\alpha$ để độ cao của vật đạt giá trị lớn nhất

d) Một quả bóng được đá từ mặt đất lên cao với vận tốc ban đầu v₀ = 20 m/s và góc đá so với phương ngang là 45⁰. Khi quả bóng ở độ cao trên 5 m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng nằm trong khoảng nào (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c  dựa vào hàm số $y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha$

Bước 2: Xác định tung độ đỉnh parabol là độ cao lớn nhất của vật

Bước 3: Tìm giá trị của $\alpha$  để biểu thức $\frac{{v_0^2{{\sin }^2}\alpha }}{{2g}}$ đạt GTLN

Bước 4: Thay các giá trị v₀ = 20, $\alpha  = {45^0}$, $g = 9,8$ để tìm dạng của hàm số

$y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha$

Bước 5: Cho y = 5, giải BPT y > 5 tìm ra khoảng của x là khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng

a) Hàm số bậc hai $y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha$ có các hệ số:

$a = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }} < 0$;         $b = \tan \alpha$;    c = 0

b) Tam thức bậc hai $\frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha$ có $\Delta  = {\tan ^2}\alpha$

$\Rightarrow$ Tung độ đỉnh của parabol là $- \frac{\Delta }{{4a}} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha }}{{\frac{{4g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{v_0^2{{\tan }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }}{{2g}} = \frac{{v_0^2{{\sin }^2}\alpha }}{{2g}}$

Vậy độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt được là $\frac{{v_0^2{{\sin }^2}\alpha }}{{2g}}$ m

c) $\frac{{v_0^2{{\sin }^2}\alpha }}{{2g}} \le \frac{{v_0^2}}{{2g}}$ $\Rightarrow {y_{\max }} = \frac{{v_0^2}}{{2g}}$ khi $\sin \alpha  = 1 \Leftrightarrow \alpha  = {90^0}$

Vậy với góc ném $\alpha  = {90^0}$ thì độ cao của vật đạt GTLN

d) Với v₀ = 20 m/s, $\alpha  = {45^0}$, $g = 9,8$ m/s² ta có:

$y = \frac{{ - 9,8}}{{{{2.20}^2}.{{\cos }^2}{{45}^0}}}{x^2} + x.\tan {45^0} \Leftrightarrow y =  - \frac{{49}}{{2000}}{x^2} + x$

Theo giả thiết, $y > 5 \Leftrightarrow  - \frac{{49}}{{2000}}{x^2} + x - 5 > 0 \Leftrightarrow 5,83 < x < 34,98$

Vậy khi quả bóng ở độ cao trên 5 m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng nằm trong khoảng $x \in (5,83;34,98)$ mét.