Câu 1.15 trang 9 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Bài 1. Mệnh đề và mệnh đề chứa biến...

Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau và lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề đó :

a. $\exists r \in Q,4{r^2} - 1 = 0$  

b. $\exists n \in N,{n^2} + 1$  chia hết cho 8

c. $\forall x \in R,{x^2} + x + 1 > 0$  

d. $\forall n \in {N^*},1 + 2 +  \ldots  + n$  không chia hết cho 11.

a. Mệnh đề đúng vì với $r = {1 \over 2}$  thì $4{r^2} - 1 = 0$ . Mệnh đề phủ định là "$\forall r \in Q,4{r^2} - 1 \ne 0$”.

b. Mệnh đề sai. Ta chứng tỏ mệnh đề phủ định "$\forall n \in N,{n^2} + 1$” không chia hết cho 8” là đúng. Thật vậy, nếu n là số chẵn thì ${n^2} + 1$  là số lẻ nên không chia hết cho 8. Nếu n là số lẻ, $n = 2k + 1\left( {k \in N} \right)$ thì

${n^2} + 1 = 4k\left( {k + 1} \right) + 2$  chia 8 dư 2 (vì $k\left( {k + 1} \right)$  là số chẵn).

c. Mệnh đề đúng. Mệnh để phủ định "$\exists x \in R,{x^2} + x + 1 \le 0$”

d. Mệnh đề sai. Ta chứng tỏ mệnh đề phủ định "$\exists n \in {N^*},1 + 2 +  \ldots  + n$ chia hết cho 11” là đúng. Thật vậy với $n = 11$ thì $1 + 2 + … + 11 = 66$ chia hết cho 11.