Bài 3 trang 47 Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:...

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $f(x) =  - 5x + 2$

b) $f(x) = - {x^2}$

Bước 1: Lấy ${x_1},{x_2} \in D$ là hai số tùy ý sao cho ${x_1} < {x_2}$.

Bước 2: Tìm điều kiện để $f({x_1}) < f({x_2})$ và $f({x_1}) > f({x_2})$

a) $f({x_1}) =  - 5{x_1} + 2,f({x_2}) =  - 5{x_2} + 2$

b) $f({x_1}) =  - {x_1}^2,f({x_2}) =  - {x_2}^2$

Bước 3: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến

+ $f({x_1}) < f({x_2})$ với $x \in {T_1}$ thì hàm số đồng biến trên khoảng ${T_1}$

+ $f({x_1}) > f({x_2})$ với $x \in {T_2}$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng ${T_2}$

a) Xét hàm số $y =  - 5x + 2$ xác định trên $\mathbb{R}$

Lấy ${x_1},{x_2} \in \mathbb{R}$ là hai số tùy ý sao cho ${x_1} < {x_2}$.

Do  ${x_1} < {x_2}$ nên $- 5{x_1} >  - 5{x_2}$, suy ra $- 5{x_1} + 2 >  - 5{x_2} + 2$

Từ đây ta có $f({x_1}) > f({x_2})$

Vậy hàm số ngịch biến (giảm) trên $\mathbb{R}$

b) Xét hàm số $y = f(x) =  - {x^2}$ xác định trên $\mathbb{R}$

+ Trên khoảng $(0; + \infty )$ lấy ${x_1},{x_2} \in \mathbb{R}$ là hai số tùy ý sao cho ${x_1} < {x_2}$., ta có: $f({x_1}) - f({x_2}) =  - {x_1}^2 + {x_2}^2 = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)({x_2} + {x_1})$

Do  ${x_1} < {x_2}$ nên ${x_2} - {x_1} > 0$ và do ${x_1},{x_2} \in (0; + \infty )$ nên ${x_1} + {x_2} > 0$.

Từ đây suy ra $f({x_1}) - f({x_2}) > 0$ hay $f({x_1}) > f({x_2})$

Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng $(0; + \infty )$

+ Trên khoảng $( - \infty ;0)$ lấy ${x_1},{x_2} \in \mathbb{R}$ là hai số tùy ý sao cho ${x_1} < {x_2}$., ta có: $f({x_1}) - f({x_2}) =  - {x_1}^2 + {x_2}^2 = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)({x_2} + {x_1})$

Do  ${x_1} < {x_2}$ nên ${x_2} - {x_1} > 0$ và do ${x_1},{x_2} \in ( - \infty ;0)$ nên ${x_1} + {x_2} < 0$.

Từ đây suy ra $f({x_1}) - f({x_2}) < 0$ hay $f({x_1}) < f({x_2})$

Vậy hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng $( - \infty ;0)$