Bài 4 trang 56 Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Cho hàm số bậc hai (y = f(x) = a{x^2} + bx + c) có (f(0) = 1,f(1) = 2,f(2) = 5.)...

Cho hàm số bậc hai $y = f(x) = a{x^2} + bx + c$ có $f(0) = 1,f(1) = 2,f(2) = 5.$

a) Hãy xác định giá trị của các hệ số $a,b$ và $c.$

b) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.

a) $f(0) = a{.0^2} + b.0 + c = 1$, từ đó suy ra c.

Tương tự, sử dụng giả thiết $f(1) = 2,f(2) = 5,$lập hệ phương trình 2 ẩn a, b.

b) Tập giá trị $T = \{ f(x)|x \in D\}$ với D là tập xác định của hàm số $f(x).$

Với $a = 1 > 0$:
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)$

a) Ta có: $f(0) = a{.0^2} + b.0 + c = 1 \Rightarrow c = 1.$

Lại có:

 $f(1) = a{.1^2} + b.1 + c = 2 \Rightarrow a + b + 1 = 2$

$f(2) = a{.2^2} + b.2 + c = 5 \Rightarrow 4a + 2b + 1 = 5$

Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b + 1 = 2\\4a + 2b + 1 = 5\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\4a + 2b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.$(thỏa mãn điều kiện $a \ne 0$)

Vậy hàm số bậc hai đó là $y = f(x) = {x^2} + 1$

b) Tập giá trị $T = \{ {x^2} + 1|x \in \mathbb{R}\}$

Vì ${x^2} + 1 \ge 1\;\forall x \in \mathbb{R}$ nên $T = [1; + \infty )$

Đỉnh S có tọa độ: ${x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 0}}{{2.1}} = 0;{y_S} = f(0) = 1$

Hay $S\left( {0;1} \right).$

Vì hàm số bậc hai có $a = 1 > 0$ nên ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$