Bài 7 trang 36 Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Hãy khai triển và rút gọn biểu thức...

Hãy khai triển và rút gọn biểu thức

 ${\left( {1 + x} \right)^4} + {\left( {1 - x} \right)^4}$

Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng biểu thức $1,{05^4} + 0,{95^4}$

Áp dụng công thức nhị thức Newton ${\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}}$

a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^4} = {1^4} + C_4^1{.1^3}x + C_4^2{.1^2}{x^2} + C_4^3.1{x^3} + C_4^4{x^4}\\ = 1 + 4x + 6{x^2} + 4{x^3} + {x^4}\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left( {1 - x} \right)^4} = {1^4} + C_4^1{.1^3}\left( { - x} \right) + C_4^2{.1^2}{\left( { - x} \right)^2} + C_4^3.1{\left( { - x} \right)^3} + C_4^4{\left( { - x} \right)^4}\\ = 1 - 4x + 6{x^2} - 4{x^3} + {x^4}\end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^4} + {\left( {1 - x} \right)^4} = 1 + 4x + 6{x^2} + 4{x^3} + {x^4} + 1 - 4x + 6{x^2} - 4{x^3} + {x^4}\\ = 2 + 12{x^2} + 2{x^4}\end{array}$

Vậy ${\left( {1 + x} \right)^4} + {\left( {1 - x} \right)^4} = 2 + 12{x^2} + 2{x^4}$

Ta có: $1,{05^4} + 0,{95^4} = {\left( {1 + 0,5} \right)^4} + {\left( {1 - 0,5} \right)^4}$

Áp dụng biểu thức vừa chứng minh ${\left( {1 + x} \right)^4} + {\left( {1 - x} \right)^4} = 2 + 12{x^2} + 2{x^4}$ ta có:

 $\begin{array}{l}1,{05^4} + 0,{95^4} = {\left( {1 + 0,5} \right)^4} + {\left( {1 - 0,5} \right)^4} = 2 + 12.0,{5^2} + 2.0,{5^4}\\ = 5,125\end{array}$