Mục 3 trang 41, 42, 43, 44 Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo: Cho hai điểm (Aleft( {{x_A};{y_A}} right),Bleft( {{x_B};{y_B}} right)). Từ biể...

HĐ Khám phá 5

Cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Từ biểu thức $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}$, tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB}$ theo tọa độ hai điểm A,B

Với $\overrightarrow v  = \left( {{v_1};{v_2}} \right),\overrightarrow w  = \left( {{w_1};{w_2}} \right)$ thì $\overrightarrow v  + \overrightarrow w$ là $\left( {{v_1} + {w_1};{v_2} + {w_2}} \right)$

Ta có tọa độ vectơ $\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OA}$ chính là tọa độ điểm B và A

Nên ta có $\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_B};{y_B}} \right),\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A};{y_A}} \right)$

$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  = \left( {{x_B};{y_B}} \right) - \left( {{x_A};{y_A}} \right) = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})$

Thực hành 3

Cho $E\left( {9;9} \right),F\left( {8; - 7} \right),G\left( {0; - 6} \right)$. Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow {FE} ,\overrightarrow {FG} ,\overrightarrow {EG}$

 $\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})$

Ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {FE}  = ({x_E} - {x_F};{y_E} - {y_F}) = (9 - 8;9 - ( - 7)) = (1;16)\\\overrightarrow {FG}  = ({x_G} - {x_F};{y_G} - {y_F}) = (0 - 8;( - 6) - ( - 7)) = ( - 8;1)\\\overrightarrow {EG}  = ({x_G} - {x_E};{y_G} - {y_E}) = (0 - 9;( - 6) - 9) = ( - 9; - 15)\end{array}$

HĐ Khám phá 6

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$. Gọi $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng AB, $G\left( {{x_G};{y_G}} \right)$ là trọng tâm của tam giác ABC

a) Biểu thị vectơ $\overrightarrow {OM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OB}$

b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow {OG}$ theo ba vectơ $\overrightarrow {OA}$, $\overrightarrow {OB}$ và $\overrightarrow {OC}$

c) Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M, G theo tọa độ của các điểm A, B, C

a) Sử dụng tính chất trung điểm $\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right)$ (với M là trung điểm của đoạn thẳng AB)

b) Sử dụng tính chất trọng tâm $\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)$ (với G là trọng tâm của tam giác  ABC)

c) Thay tọa độ các điểm vào và xác định

a) M là trung điểm của đoạn thẳng AB, áp dụng tính chất trung điểm ta có:

$\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right)$

 b) G là trọng tâm của tam giác  ABC, áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác ta có:

$\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)$

c) Ta có $\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A};{y_A}} \right),\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_B};{y_B}} \right),\overrightarrow {OC}  = \left( {{x_C};{y_C}} \right)$

Suy ra:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{x_A};{y_A}} \right) + \left( {{x_B};{y_B}} \right)} \right]\\ = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l} \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = \frac{1}{3}\left[ {\left( {{x_A};{y_A}} \right) + \left( {{x_B};{y_B}} \right) + \left( {{x_c};{y_c}} \right)} \right]\\ = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right) \end{array}$

Mà ta có tọa độ vectơ $\overrightarrow {OM}$ chính là tọa độ điểm M, nên ta có

Tọa độ điểm M là $\left( {{x_M};{y_M}} \right) = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)$

Tọa độ điểm G là $\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)$

Thực hành 4

Cho tam giác QRS có tọa độ các đỉnh $Q\left( {7; - 2} \right),R( - 4;9)$ và $S(5;8)$

a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh QS

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS

Tọa độ điểm M là $\left( {\frac{{{x_Q} + {x_S}}}{2};\frac{{{y_Q} + {y_S}}}{2}} \right)$

Tọa độ điểm G là $\left( {\frac{{{x_Q} + {x_R} + {x_S}}}{3};\frac{{{y_Q} + {y_R} + {y_S}}}{3}} \right)$

a) ${x_M} = \frac{{{x_Q} + {x_S}}}{2} = \frac{{7 + ( - 2)}}{2} = \frac{5}{2}; \\{y_M} = \frac{{{y_Q} + {y_S}}}{2} = \frac{{( - 2) + 8}}{2} = 3$

Vậy $M\left( {\frac{5}{2};3} \right)$

b) 

${x_G} = \frac{{{x_Q} + {x_S} + {x_R}}}{3} = \frac{{7 + ( - 2) + ( - 4)}}{3} = \frac{1}{3};\\{y_M} = \frac{{{y_Q} + {y_S} + {y_R}}}{3} = \frac{{( - 2) + 8 + 9}}{3} = 5$

Vậy $G\left( {\frac{1}{3};5} \right)$

HĐ Khám phá 7

Cho hai vectơ $\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2}),\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2})$ và hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Hoàn thành các phép biến đổi sau:

a) $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = ...?$

b) $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = t{b_1}\\{a_2} = t{b_2}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}{b_1} = k{a_1}\\{b_2} = k{a_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = ...?$

c) $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow a } \right)}^2}}  = \sqrt {.?.}$

d) $\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AB} } \right)}^2}}  = \sqrt {.?.}$

e) $\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{.?.}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} .\sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}$ ($\overrightarrow a ,\overrightarrow b$  khác $\overrightarrow 0$)

a) $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0$

b) $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = t{b_1}\\{a_2} = t{b_2}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}{b_1} = k{a_1}\\{b_2} = k{a_2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = {a_1}.k{a_2} - {a_2}.k{a_1} = 0$

c) $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow a } \right)}^2}}  =  \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2}$

d) $\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AB} } \right)}^2}}$

$= \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}}$

e) $\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} .\sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}$

Thực hành 5

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác DEF có tọa độ các đỉnh $D(2;2),E(6;2)$ và $F(2;6)$

a) Tìm tọa độ điểm H là chân đường vuông cao của tam giác DEF kẻ từ D

b) Giải tam giác DEF

Bước 1: Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow {DH} ,\overrightarrow {EF}$

Bước 2: Dựa vào ứng dụng tọa độ của các phép toán vectơ (tính chất vuông góc)

a) Ta có: $\overrightarrow {EF}  = \left( { - 2;4} \right)$

Gọi tọa độ điểm H là $\left( {x;y} \right)$ ta có $\overrightarrow {DH}  = \left( {x - 2;y - 2} \right),\overrightarrow {EH}  = \left( {x - 6;y - 2} \right)$

H là chân đường cao nên $\overrightarrow {DH}  \bot \overrightarrow {EF}$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {DH}  \bot \overrightarrow {EF}  \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right).\left( { - 2} \right) + \left( {y - 2} \right).4 = 0\\ \Leftrightarrow  - 2x + 4y - 4 = 0\end{array}$ (1)

Hai vectơ $\overrightarrow {EH} ,\overrightarrow {EF}$ cùng  phương

 $\Leftrightarrow \left( {x - 6} \right).( - 2) - \left( {y - 2} \right).4 = 0 \Leftrightarrow  - 2x - 4y + 20 = 0$            (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 4y - 4 = 0\\ - 2x - 4y + 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.$

Vậy $H(4;3)$

b) Ta có: $\overrightarrow {DE}  = (4;0),\overrightarrow {DF}  = (0;4),\overrightarrow {EF}  = ( - 4;4)$

Suy ra: $DE = \left| {\overrightarrow {DE} } \right| = \sqrt {{4^2} + {0^2}}  = 4,DF = \left| {\overrightarrow {DF} } \right| = \sqrt {{0^2} + {4^2}}  = 4$

            $EF = \left| {\overrightarrow {EF} } \right| = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 2$

            $\begin{array}{l}\cos D = \cos \left( {\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {DF} } \right) = \frac{{\overrightarrow {DE} .\overrightarrow {DF} }}{{DE.DF}} = \frac{{4.0 + 0.4}}{{4.4}} = 0 \Rightarrow \widehat D = 90^\circ \\\cos E = \cos \left( {\overrightarrow {ED} ,\overrightarrow {EF} } \right) = \frac{{\overrightarrow {ED} .\overrightarrow {EF} }}{{ED.EF}} = \frac{{\left( { - 4} \right).\left( { - 4} \right) + 0.4}}{{4.4\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat E = 45^\circ \\\widehat F = 180^\circ  - \widehat D - \widehat E = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ \end{array}$

Vận dụng 3

Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ $B\left( {50;30} \right)$ và $C\left( {32; - 23} \right)$. Một con tàu đang neo đậu tại điểm $A\left( { - 10;20} \right)$

a) Tính số đo của $\widehat {BAC}$

b) Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo

Bước 1: Xác định tọa độ các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC}$

Bước 2: 

a) $\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}}$

b) $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {(x_B - x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ 

a) Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {60;10} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {42; - 43} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 18; - 53} \right)$

$\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{60.42 + 10.( - 43)}}{{\sqrt {{{60}^2} + {{10}^2}} .\sqrt {{{42}^2} + {{\left( { - 43} \right)}^2}} }} \simeq 0,572 \Rightarrow \widehat {BAC} \approx 55^\circ 8’$

b)

Khoảng cách từ tàu đến đảo B là $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{60}^2} + {{10}^2}}  = 10\sqrt {37}$ (km)

Khoảng cách từ tàu đến đảo B là $AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{42}^2} + {{\left( { - 43} \right)}^2}}  = \sqrt {3613}$ (km)