Kim giờ và kim phút đồng hồ bắt đầu cùng chạy từ vị trí Ox chỉ số 12 (tức lúc 0 giờ). Sau thời gian t giờ (t≥0), kim giờ đến vị trí tia Ou kim phút đến vị trí tia Ov.
a) Chứng minh rằng khi quay như thế, kim giờ quét góc lượng giác (Ox; Ou) có số đo \( - {\pi \over 6}t\) , kim phút quét góc lượng giác (Ox; Ov) có số đo : -2πt. Hãy tìm số đo của góc lượng giác (Ou; Ov) theo t.
b) Chứng minh rằng hai tia Ou, Ov trùng nhau khi và chỉ khi \(t = {{12k} \over {11}}\) với k là một số tự nhiên nào đó.
c) Chứng minh rằng trong 12 giờ (0 ≤ t ≤ 12), hai tia Ou’ và Ov’ ở vị trí đối nhau khi và chỉ khi \(t = {6 \over {11}}(2k + 1)\) với k = 0, 1, ...10
Đáp án
a) Trong một giờ, góc lượng giác có số đo \( - {{2\pi } \over {12}}\) , nên trong t giờ, kim phút quét góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo -2πt, kim giờ quét góc (Ox, Ou) có số đo \( - {\pi \over 6}t\) .
Từ đó, theo hệ thức Salo, góc lượng giác (Ou, Ov) có:
\(\eqalign{
& sđ(Ou,Ov) = sđ(Ox,\,Ov) - sđ(Ox,Ou) + 12\pi \cr
& = - 2\pi t\, + {\pi \over 6}t + 12\pi = ( - {{11} \over 6}t + 2l)\pi \,\,(l \in\mathbb Z) \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Hai tia Ou, Ov trùng nhau khi và chỉ khi (Ou, Ov) = 2mπ (m ∈ Z)
Vậy \( - {{11t} \over 6} + 2l = 2m\) , tức là \({{11} \over 6}t = 2(l - m)\) .
Do đó: \(t = {{12k} \over {11}},\,\,k \in Z\)
Nhưng vì t ≥ 0 nên k ∈ N
c) Hai tia Ou, Ov đối nhau khi và chỉ khi (Ou, Ov) = (2m – 1)π (m ∈ Z)
Vậy \( - {{11t} \over 6} + 2l = 2m\) - 1, tức là \({{11} \over 6}t = 2(l - m)\) + 1
Do đó: \(t = {6 \over {11}}(2k + 1)\pi \,\,\,(k \in Z)\)
Vì \(0 ≤ t ≤ 12\) nên k = 0, 1, 2, ... 10