Bài 12 trang 192 Đại số 10 Nâng cao: Kim giờ và kim phút đồng hồ bắt đầu cùng chạy từ vị trí Ox chỉ số 12 (tức lúc 0 giờ). Sau thời gian t giờ (t≥0), kim giờ đến vị trí tia Ou...

Kim giờ và kim phút đồng hồ bắt đầu cùng chạy từ vị trí Ox chỉ số 12 (tức lúc 0 giờ). Sau thời gian t giờ (t≥0), kim giờ đến vị trí tia Ou kim phút đến vị trí tia Ov.

a) Chứng minh rằng khi quay như thế, kim giờ quét góc lượng giác (Ox; Ou) có số đo $- {\pi  \over 6}t$ , kim phút quét góc lượng giác (Ox; Ov) có số đo : -2πt. Hãy tìm số đo của góc lượng giác (Ou; Ov) theo t.

b) Chứng minh rằng hai tia Ou, Ov trùng nhau khi và chỉ khi $t = {{12k} \over {11}}$ với k là một số tự nhiên nào đó.

c) Chứng minh rằng trong 12 giờ (0 ≤ t ≤ 12), hai tia Ou’ và Ov’ ở vị trí đối nhau khi và chỉ khi $t = {6 \over {11}}(2k + 1)$ với k = 0, 1, ...10    

Đáp án

a) Trong một giờ, góc lượng giác có số đo $- {{2\pi } \over {12}}$ , nên trong t giờ, kim phút quét góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo -2πt, kim giờ quét góc (Ox, Ou) có số đo $- {\pi  \over 6}t$ .

Từ đó, theo hệ thức Salo, góc lượng giác (Ou, Ov) có:

$\eqalign{ & sđ(Ou,Ov) = sđ(Ox,\,Ov) - sđ(Ox,Ou) + 12\pi \cr & = - 2\pi t\, + {\pi \over 6}t + 12\pi = ( - {{11} \over 6}t + 2l)\pi \,\,(l \in\mathbb Z) \cr}$

b) Hai tia Ou, Ov trùng nhau khi và chỉ khi (Ou, Ov) = 2mπ (m ∈ Z)

Vậy $- {{11t} \over 6} + 2l = 2m$ , tức là ${{11} \over 6}t = 2(l - m)$ .

Do đó: $t = {{12k} \over {11}},\,\,k \in Z$ 

Nhưng vì t ≥ 0 nên k ∈ N

c) Hai tia Ou, Ov đối nhau khi và chỉ khi (Ou, Ov) = (2m – 1)π (m ∈ Z)

Vậy $- {{11t} \over 6} + 2l = 2m$  - 1, tức là ${{11} \over 6}t = 2(l - m)$ + 1

Do đó: $t = {6 \over {11}}(2k + 1)\pi \,\,\,(k \in Z)$

Vì $0 ≤ t ≤ 12$ nên k = 0, 1, 2, ... 10