Bài 3 trang 43 Hình học 10 Nâng cao: Chứng minh các hệ thức sau...

Bài 3. Chứng minh các hệ thức sau

a) ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$;

b) $1 + {\tan ^2}\alpha  = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }}\,\,\,\,\,(\alpha  \ne {90^0})$;

c) $1 + {\cot ^2}\alpha  = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\,\,\,\,\,({0^0} < \alpha  < {180^0})$.

a) Giả sử $M\,(x\,;\,y)$ trên đường tròn đơn vị, $\widehat {MOx} = \alpha$. Ta có

         ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = {x^2} + {y^2} = O{M^2} = 1.$

b) $1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + {{{{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }}\,$ .

c)  $1 + {\cot ^2}\alpha  = 1 + {{{{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\,$.