Bài 17 trang 75 SBT Toán 11 - Cánh diều: Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng...

Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^3} = - 8$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = - 4$

Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số tại một điểm: Cho khoảng $K$ chứa điểm ${x_0}$ và hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $K$ hoặc trên $K \setminus \left\{ {{x_0}} \right\}$. Hàm số $f\left( x \right)$ có giới hạn là số $L$ khi $x$ dần tới ${x_0}$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, ${x_n} \in K \setminus \left\{ {{x_0}} \right\}$ và ${x_n} \to {x_0}$ thì $f\left( {{x_n}} \right) \to L$. Kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$.

a) Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^3}$. Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì thoả mãn $\lim {x_n} = - 2$.

Ta có $\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim x_n^3 = {\left( { - 2} \right)^3} = - 8$. Như vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^3} = - 8$.

b) Xét hàm số $g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}$. Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì thoả mãn ${x_n} \ne - 2$ và $\lim {x_n} = - 2$.

Ta có $\lim g\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{x_n^2 - 4}}{{{x_n} + 2}} = \lim \left( {{x_n} - 2} \right) = \left( { - 2} \right) - 2 = - 4$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = - 4$.