Bài 18 trang 75 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4$, chứng minh rằng...

Cho $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4$, chứng minh rằng:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3f\left( x \right) = 12$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{4} = 1$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {f\left( x \right)} = 2$

Sử dụng định lý về các phép toán giới hạn hữu hạn của hàm số.

Định lý về các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số: Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M$ thì

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}$ nếu $M \ne 0$.

a) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3.\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 3.4 = 12$.

b) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{4} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 4}} = \frac{4}{4} = 1$.

c) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4 \ge 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt 4 = 2$