Cho số thực \(a\) và hàm số \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = - \infty \). Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{2f\left( x \right) + 1}} = \frac{1}{2}\).
Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(\frac{{f\left( x \right) - 3}}{{2f\left( x \right) + 1}}\) cho \(f\left( x \right)\), rồi sử dụng các định lý về giới hạn hàm số.
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{2f\left( x \right) + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)\left[ {1 - \frac{3}{{f\left( x \right)}}} \right]}}{{f\left( x \right)\left[ {2 + \frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{1 - \frac{3}{{f\left( x \right)}}}}{{2 + \frac{1}{{f\left( x \right)}}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{3}{{f\left( x \right)}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{f\left( x \right)}}}}\)
\( = \frac{{1 - 0}}{{2 + 0}} = \frac{1}{2}\).