Bài 26 trang 104 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp $S. ABCD$ có đáy$ABCD$ là hình bình hành...

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy$ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là điểm chuyển động trên cạnh $SC$ ($M$ khác $C$), $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $AM$ và song song với $BD$. Chứng minh rằng mặt phẳng $\left( P \right)$ luôn đi qua một đường thẳng cố định khi $M$ chuyển động trên cạnh $SC$.

Sử dụng định lý sau: “Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $a$ và cắt $\left( P \right)$ theo giao tuyến $b$ thì $a\parallel b$.”

Trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, vẽ đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BD$. Chứng minh rằng $d \subset \left( P \right)$.

Trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, vẽ đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BD$.

Xét mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$, ta có $A \in AM \subset \left( P \right)$ và $A \in \left( {ABCD} \right)$ nên giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là đường thẳng đi qua $A$.

Mặt khác, ta có $BD\parallel \left( P \right)$, $BD \subset \left( {ABCD} \right)$ nên giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là một đường thẳng song song với $BD$.

Do đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BD$ nên $d$ chính là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$.

Vì hình bình hành $ABCD$ cố định, nên đường thẳng $d$ cố định.

Vậy mặt phẳng $\left( P \right)$ luôn đi qua đường thẳng $d$ cố định.

Bài toán được chứng minh.