Bài 58 trang 118 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$; $P$...

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$; $P$, $Q$ lần lượt thuộc các cạnh $CD$, $BC$ ($P$, $Q$ không là trung điểm của $CD$, $BC$). Chứng minh rằng nếu $M$, $N$, $P$, $Q$ cùng thuộc một mặt phẳng thì ba đường thẳng $MQ$, $NP$ và $AC$ cùng đi qua một điểm.

Gọi $I$ là giao điểm của $NP$ và $AC$. Ta suy ra rằng $I$ nằm trên giao tuyến của $\left( {MNPQ} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$, từ đó suy ra $I \in MQ$ và điều phải chứng minh.

Xét $\left( {ADC} \right)$, do $P$ không là trung điểm của $CD$, nên đường thẳng $NP$ cắt đường thẳng $AC$. Gọi $I$ là giao điểm của $NP$ và $AC$.

Ta có $I \in \left( {MNPQ} \right)$ (do $I$ nằm trên $NP$) và $I \in \left( {ABC} \right)$ (do $I$ nằm trên $AC$). Như vậy $I$ nằm trên giao tuyến của $\left( {MNPQ} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$.

Ta nhận thấy rằng $\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {MNPQ} \right)\\M \in AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right)$, và

$\left\{ \begin{array}{l}Q \in \left( {MNPQ} \right)\\Q \in BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow Q \in \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right)$.

Do đó giao tuyến của $\left( {MNPQ} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là đường thẳng $MQ$.

Mà $I$ nằm trên giao tuyến của $\left( {MNPQ} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$, nên $I \in MQ$.

Vậy $MQ$, $NP$ và $AC$ cùng đi qua điểm $I$.

Bài toán được chứng minh.