Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 - Cánh diều Bài 58 trang 118 SBT Toán 11 – Cánh diều: Cho tứ...

Bài 58 trang 118 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\); \(P\)...

Gọi \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(AC\). Ta suy ra rằng \(I\) nằm trên giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\). Vận dụng kiến thức giải - Bài 58 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều - Bài tập cuối chương IV. Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\); \(P\)...

Question - Câu hỏi/Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\); \(P\), \(Q\) lần lượt thuộc các cạnh \(CD\), \(BC\) (\(P\), \(Q\) không là trung điểm của \(CD\), \(BC\)). Chứng minh rằng nếu \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) cùng thuộc một mặt phẳng thì ba đường thẳng \(MQ\), \(NP\) và \(AC\) cùng đi qua một điểm.

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

Gọi \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(AC\). Ta suy ra rằng \(I\) nằm trên giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), từ đó suy ra \(I \in MQ\) và điều phải chứng minh.

Answer - Lời giải/Đáp án

Xét \(\left( {ADC} \right)\), do \(P\) không là trung điểm của \(CD\), nên đường thẳng \(NP\) cắt đường thẳng \(AC\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(AC\).

Advertisements (Quảng cáo)

Ta có \(I \in \left( {MNPQ} \right)\) (do \(I\) nằm trên \(NP\)) và \(I \in \left( {ABC} \right)\) (do \(I\) nằm trên \(AC\)). Như vậy \(I\) nằm trên giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

Ta nhận thấy rằng \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {MNPQ} \right)\\M \in AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right)\), và

\(\left\{ \begin{array}{l}Q \in \left( {MNPQ} \right)\\Q \in BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow Q \in \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right)\).

Do đó giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là đường thẳng \(MQ\).

Mà \(I\) nằm trên giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), nên \(I \in MQ\).

Vậy \(MQ\), \(NP\) và \(AC\) cùng đi qua điểm \(I\).

Bài toán được chứng minh.

Advertisements (Quảng cáo)