Bài 59 trang 118 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$; $P$...

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$; $P$, $Q$ lần lượt thuộc các cạnh $CD$, $BC$ ($P$, $Q$ không trùng với $B$, $C$, $D$). Chứng minh rằng nếu $M$, $N$, $P$, $Q$ cùng thuộc một mặt phẳng thì $PQ$ song song với $BD$.

Chỉ ra rằng $MN\parallel BD$, từ đó ta xét thấy hai mặt phẳng $\left( {MNPQ} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ chứa hai đường thẳng song song nên giao tuyến của chúng cũng song song với hai đường thẳng đó.

Ta có $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $AD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABD$. Suy ra $MN\parallel BD$.

Xét hai mặt phẳng $\left( {MNPQ} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$, ta có $MN\parallel BD$, $MN \subset \left( {MNPQ} \right)$, $BD \subset \left( {BCD} \right)$ nên giao tuyến của $\left( {MNPQ} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ nếu tồn tại sẽ song song hoặc trùng với $BD$.

Mặt khác, ta thấy $P$ và $Q$ là hai điểm chung của $\left( {MNPQ} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$, nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng $PQ$. Hơn nữa, do $P$ khác $C$ và $P$ khác $D$ nên ta suy ra $PQ\parallel BD$.

Bài toán được chứng minh.