Bài 57 trang 118 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp $S. ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SD$...

Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SD$.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$.

b) Xác định giao điểm của đường thẳng $BM$ với mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( {MBC} \right)$ với các mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$.

a) Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng đó.

b) Để xác định giao điểm của $BM$ và $\left( {SAC} \right)$, ta cần chọn một đường thẳng nằm trong $\left( {SAC} \right)$, và xác định giao điểm của nó với đường thẳng $BM$.

c) Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng đó.

a) Trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Do $AC \subset \left( {SAC} \right)$, $BD \subset \left( {SBD} \right)$ nên $O$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$.

Mặt khác, ta có $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$. Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là đường thẳng $SO$.

b) Nhận xét rằng $BM \subset \left( {SBD} \right)$. Trên $\left( {SBD} \right)$, gọi $E$ là giao điểm của $BM$ và $SO$.

Do $SO \subset \left( {SAC} \right)$, nên $\left\{ E \right\} = BM \cap \left( {SAC} \right)$.

Vậy $E$ là giao điểm của $BM$ và $\left( {SAC} \right)$.

c) Nhận xét rằng $CE \subset \left( {SAC} \right)$. Trên $\left( {SAC} \right)$, gọi $F$ là giao điểm của $CE$ và $SA$.

Do $E \in BM$, mà $BM \subset \left( {MBC} \right)$ nên $E \in \left( {MBC} \right)$. Suy ra $CE \subset \left( {MBC} \right)$.

Xét hai mặt phẳng $\left( {MBC} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}F \in CE \subset \left( {MBC} \right)\\F \in SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAB} \right)$.

Mặt khác, vì $B \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAB} \right)$, nên giao tuyến của $\left( {MBC} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$ là đường thẳng $BF$.

Xét hai mặt phẳng $\left( {MBC} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}F \in CE \subset \left( {MBC} \right)\\F \in SA \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)$.

Mặt khác, ta lại có $\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {MBC} \right)\\M \in SD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)$.

Như vậy, giao tuyến của $\left( {MBC} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ là đường thẳng $MF$.