Bài 61 trang 118 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp $S. ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $SB$...

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $BC$, $CD$.

a) Chứng minh rằng $SC\parallel \left( {MNP} \right)$.

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ với mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ và giao điểm $Q$ của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

c) Xác định giao điểm $E$ của đường thẳng $SA$ với mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

d) Tính tỉ số $\frac{{SE}}{{SA}}$.

a) Để chứng minh $SC\parallel \left( {MNP} \right)$, ta cần chứng minh rằng $SC$ song song với một đường thẳng nằm trong $\left( {MNP} \right)$.

b) Gọi $Q$ là trung điểm của $SD$. Chứng minh rằng $Q \in \left( {MNP} \right)$, từ đó suy ra $PQ$ là giao tuyến của $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$, từ đó ta cũng chứng minh được $Q$ là giao điểm của $SD$ và $\left( {MNP} \right)$.

c) Gọi $I$ là giao điểm của $NP$ và $AC$. Trên cạnh $SA$ lấy $E$ sao cho $IE\parallel SC$. Chứng minh rằng $E \in \left( {MNP} \right)$ và suy ra $E$ là giao điểm cần tìm.

d) Sử dụng định lý Thales để tính tỉ số $\frac{{SE}}{{SA}}$.

a) Do $M$ là trung điểm của $SB$, $N$ là trung điểm của $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SBC$. Suy ra $MN\parallel SC$.

Vì $MN \subset \left( {MNP} \right)$ nên $SC\parallel \left( {MNP} \right)$. Ta có điều phải chứng minh.

b) Gọi $Q$ là trung điểm của $SD$. Ta sẽ chứng minh $PQ$ chính là giao tuyến của $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$, và $Q$ cũng chính là giao điểm của $SD$ và $\left( {MNP} \right)$.

Thật vậy, xét hai mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$, ta có $P \in CD \subset \left( {SCD} \right)$ và $P \in \left( {MNP} \right)$, nên giao tuyến của $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là một đường thẳng đi qua $P$.

Hơn nữa, do $MN\parallel SC$, $SC \subset \left( {SCD} \right)$, $MN \subset \left( {MNP} \right)$, ta suy ra giao tuyến của $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là một đường thẳng đi qua $P$ và song song với $SC$.

Vì $P$ là trung điểm của $CD$, $Q$ là trung điểm của $SD$ nên $PQ$ là đường trung bình của tam giác $SDC$. Suy ra $PQ\parallel SC$ và $PQ\parallel MN$. Do $PQ\parallel MN$ nên $Q \in \left( {MNP} \right)$.

Như vậy, $PQ$ chính là giao tuyến của $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

Do $Q \in \left( {MNP} \right)$ và $Q \in SD$, ta suy ra $Q$ là giao điểm của $SD$ và $\left( {MNP} \right)$.

c) Gọi $I$ là giao điểm của $NP$ và $AC$. Trên cạnh $SA$ lấy $E$ sao cho $IE\parallel SC$.

Dễ thấy rằng do $I \in NP$, $NP \subset \left( {MNP} \right)$ nên $I \in \left( {MNP} \right)$.

Do $IE\parallel SC$, $MN\parallel SC$ , ta suy ra $IE\parallel MN$. Vì $I \in \left( {MNP} \right)$, ta suy ra $E \in \left( {MNP} \right)$.

Như vậy $E$ là điểm chung của $SA$ và $\left( {MNP} \right)$, ta kết luận $E$ chính là giao điểm của $SA$ và $\left( {MNP} \right)$.

d) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Ta có $P$ là trung điểm của $CD$, $N$ là trung điểm của $BC$ nên $NP$ là đường trung bình của tam giác $BCD$. Suy ra $NP\parallel BD$, hay $NI\parallel BO$. Do $N$ là trung điểm của $BC$, ta kết luận rằng $I$ là trung điểm của $OC$, hay $\frac{{CI}}{{CO}} = \frac{1}{2}$.

Mặt khác, do $ABCD$ là hình bình hành, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, ta suy ra $O$ là trung điểm của $AC$, hay $\frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{2}$.

Suy ra $\frac{{CI}}{{CA}} = \frac{{CI}}{{CO}}.\frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Tam giác $SAC$ có $IE\parallel SC$, theo định lý Thales ta có $\frac{{CI}}{{IA}} = \frac{{SE}}{{EA}} \Rightarrow \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{{SE}}{{SA}}$.

Như vậy $\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{1}{4}$.